** Uma fonte de 50 \angle 30 o V a 60 Hz é aplicada a um circuito RC paralelo, com \mathrm{R}=100 \Omega e \mathrm{C}=33 \mu \mathrm{~F}. Calcule a corrente total (IT) fornecida pela fonte.
  • Resposta: I T=0.90 \angle 68.8 \circ \mathrm{~A}.

Passo 1

O enunciado pede a corrente total fornecida pela fonte em um circuito paralelo composto por uma resistência e um capacitor. Dados fornecidos:
\text{Tensão da fonte: }V = 50\angle30^\circ\\ \mathrm{V}ã
\text{Frequência: }f = 60\\ \mathrm{Hz}ê
\text{Resistência: }R = 100\\ \Omegaê
\text{Capacitância: }C = 33\\ \mu\mathrm{F}â
O objetivo é calcular a corrente total I_T (em forma fasorial com magnitude e ângulo).

Passo 2

Conceitos e estratégia (aula rápida e prática):
  • Em regime senoidal usamos fasores: tensões e correntes são representadas por números complexos na forma polar A\angle\theta ou retangular a+jb.
  • Em paralelo é simples somar admitâncias: a admitância é o inverso da impedância. Para resistor Y_R = 1/R (real) e para capacitor Y_C = j\omega C (puros reativos, com sinal positivo em j para capacitores quando trabalhamos com admitância).
  • A corrente total é dada por
I_T = V \cdot Y_T,
onde
Y_T = Y_R + Y_C.
  • Alternativamente, pode-se somar as correntes de cada ramo I_T = I_R + I_C com I_R = V/R e I_C = V/Z_C; ambas formas são equivalentes. Vou usar a soma de admitâncias (é direta e evita dividir por números complexos no último passo).

Passo 3

Calcular a pulsação \omega (porque \omega aparece em Y_C):
\omega = 2\pi f.
Substituindo f=60\\ \mathrm{Hz}:
\omega = 2\pi\cdot60 = 120\pi \approx 376{,}99\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calcular a admitância do resistor Y_R e do capacitor Y_C.
  • Para o resistor:
Y_R = \frac{1}{R} = \frac{1}{100} = 0{,}01\\ \mathrm{S}.
  • Para o capacitor:
Y_C = j\omega C.
Substituindo \omega e C=33\\ \mu\mathrm{F}=33\times10^{-6}\\ \mathrm{F}:
\omega C = 376{,}99 \times 33\times10^{-6} \approx 0{,}0124407\\ \mathrm{S}.
Logo
Y_C = j\,0{,}0124407\\ \mathrm{S}.

Passo 5

Somar as admitâncias para obter a admitância total Y_T:
Y_T = Y_R + Y_C = 0{,}01 + j\,0{,}0124407\\ \mathrm{S}.
Agora vamos obter magnitude e ângulo de Y_T:
  • Magnitude
|Y_T| = \sqrt{(0{,}01)^2 + (0{,}0124407)^2} = \sqrt{0{,}0001 + 0{,}00015476} \approx \sqrt{0{,}00025476} \approx 0{,}01596\\ \mathrm{S}.
  • Ângulo (argênto da admitância)
\angle Y_T = \arctan\!\left(\frac{0{,}0124407}{0{,}01}\right) = \arctan(1{,}24407) \approx 51{,}2^\circ.

Passo 6

Calcular a corrente total usando I_T = V\cdot Y_T. Trabalhando em forma polar:
  • Módulo de I_T:
|I_T| = |V|\cdot|Y_T| = 50 \times 0{,}01596 \approx 0{,}798.
  • Ângulo de I_T:
\angle I_T = \angle V + \angle Y_T = 30^\circ + 51{,}2^\circ = 81{,}2^\circ.
Portanto, em forma fasorial:
I_T \approx 0{,}798\angle81{,}2^\circ\\ \mathrm{A}.

Passo 7

(Verificação alternativa pelo somatório de correntes dos ramos — mostra que a conta bate)
  • Corrente no resistor:
I_R = \frac{V}{R} = \frac{50\angle30^\circ}{100} = 0{,}5\angle30^\circ\\ \mathrm{A}.
Em retangular:
I_R = 0{,}5(\cos30^\circ + j\sin30^\circ) = 0{,}4330 + j\,0{,}25\\ \mathrm{A}.
  • Corrente no capacitor: impedância Z_C = \dfrac{1}{j\omega C} = -j\,\dfrac{1}{\omega C}. Mais direto usando admitância,
I_C = V\cdot Y_C = 50\angle30^\circ \times j\,0{,}0124407.
Multiplicar por j equivale a adicionar 90^\circ à fase:
|I_C| = 50\times0{,}0124407 \approx 0{,}6220\\ \mathrm{A}, \qquad \angle I_C = 30^\circ + 90^\circ = 120^\circ.
Em retangular:
I_C = 0{,}6220(\cos120^\circ + j\sin120^\circ) = -0{,}3110 + j\,0{,}5393\\ \mathrm{A}.
  • Soma:
I_T = I_R + I_C = (0{,}4330-0{,}3110) + j(0{,}25+0{,}5393) = 0{,}1220 + j\,0{,}7893.
Magnitude e ângulo:
|I_T| = \sqrt{0{,}1220^2 + 0{,}7893^2} \approx 0{,}798, \qquad \angle I_T = \arctan\!\left(\frac{0{,}7893}{0{,}1220}\right) \approx 81{,}2^\circ.
Confere com o resultado do passo anterior.

Resposta

I_T = 0{,}798\angle81{,}2^\circ\\ \mathrm{A}

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