** Um circuito RLC série possui R=20S, L=50mH e C=10 \mu \mathrm{F}. A fonte opera a 60 Hz . O circuito é predominantemente indutivo ou capacitivo? Calcule a impedância total.
  • Resposta: \mathrm{XL}=18.85 \Omega, \mathrm{XC}=265.26 \Omega. O circuito é capacitivo. \mathrm{Z}=(20-\mathrm{j} 246.4) \Omega.

Passo 1

O enunciado dá um circuito série RLC com os seguintes dados e pede para determinar se o circuito é predominantemente indutivo ou capacitivo e calcular a impedância total:
R=20\\ \Omega,\quad L=50\\ \text{mH},\quad C=10\\ \mu\text{F},\quad f=60\\ \text{Hz}.
As perguntas são:
  1. Calcular a reatância indutiva \,X_L.
  2. Calcular a reatância capacitiva \,X_C.
  3. Dizer se o circuito é predominantemente indutivo ou capacitivo.
  4. Calcular a impedância total Z do circuito série.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho):
  • Reatância indutiva: \,X_L=2\pi f L. Aqui \,X_L é medido em ohms ( \Omega), f é a frequência em hertz ( \text{Hz}) e L é a indutância em henry ( \text{H}). Intuição: uma bobina “resiste” mais a corrente quanto maior a frequência.
  • Reatância capacitiva: \,X_C=\dfrac{1}{2\pi f C}. Aqui \,X_C é em \Omega, C é a capacitância em farads ( \text{F}). Intuição: um capacitor “deixa passar” mais corrente em frequências maiores, então \,X_C diminui quando f aumenta.
  • Impedância de um circuito série RLC: \displaystyle Z = R + \mathrm{j}(X_L - X_C). Se X_L-X_C>0 o circuito é indutivo; se X_L-X_C<0 o circuito é capacitivo. Aqui \mathrm{j} é a unidade imaginária usada em circuitos (equivalente ao i dos matemáticos).

Passo 3

Converter unidades para o SI (essencial para aplicar as fórmulas):
L=50\\ \text{mH}=50\times 10^{-3}\\ \text{H}=0,05\\ \text{H},
C=10\\ \mu\text{F}=10\times 10^{-6}\\ \text{F}=10\cdot 10^{-6}\\ \text{F}=0,00001\\ \text{F}.
(Coloquei as potências para ficar claro; em notação mais curta C=10\cdot10^{-6}\\ \text{F}.)

Passo 4

Calcular \,X_L passo a passo:
X_L = 2\pi f L.
Substituindo os valores:
X_L = 2\pi \cdot 60 \cdot 0,05.
Calculemos a parte numérica: 60\cdot 0,05 = 3. Então
X_L = 2\pi \cdot 3 = 6\pi.
Usando \pi\approx 3,14159265,
X_L \approx 6\cdot 3,14159265 \approx 18,8495559\\ \Omega.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais:
X_L \approx 18,85\\ \Omega.

Passo 5

Calcular \,X_C passo a passo:
X_C = \frac{1}{2\pi f C}.
Substituindo:
X_C = \frac{1}{2\pi \cdot 60 \cdot 10\cdot 10^{-6}}.
Calcule o produto no denominador: 60\cdot 10\cdot 10^{-6} = 600\cdot 10^{-6} = 0,0006. Então
X_C = \frac{1}{2\pi \cdot 0,0006}.
Calcule 2\pi\cdot 0,0006 \approx 3,14159265\cdot 0,0012 \approx 0,003769911. Assim
X_C \approx \frac{1}{0,003769911} \approx 265,258238\\ \Omega.
Arredondando para duas casas decimais:
X_C \approx 265,26\\ \Omega.

Passo 6

Determinar se o circuito é indutivo ou capacitivo:
Compare \,X_L e \,X_C:
X_L \approx 18,85\\ \Omega,\qquad X_C \approx 265,26\\ \Omega.
Como \,X_C > X_L, a parte imaginária X_L-X_C será negativa, ou seja a reatância resultante é negativa, portanto o circuito é predominantemente capacitivo.

Passo 7

Calcular a impedância total Z:
Z = R + \mathrm{j}(X_L - X_C).
Substituindo os valores:
X_L - X_C \approx 18,85 - 265,26 = -246,41\\ \Omega.
Logo
Z \approx 20 + \mathrm{j}(-246,41) = 20 - \mathrm{j}\,246,41\\ \Omega.
Podemos arredondar a parte imaginária para uma casa decimal se preferir a notação do enunciado:
Z \approx 20 - \mathrm{j}\,246,4\\ \Omega.

Resposta

X_L=18,85\\ \Omega,\; X_C=265,26\\ \Omega
O circuito é capacitivo.
Z=20-\mathrm{j}\,246,4\\ \Omega

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