• Um resistor de 50 \Omega está em série com um indutor de 20 mH . Qual a impedância total do circuito (Z) para uma frequência de 100 Hz ?
  • Resposta: Z=(50+j 12.57) \Omega, ou 51.5 \angle 14.1 \circ \Omega

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos:
  • Pedem a impedância total Z de um circuito em série.
  • Dados fornecidos: R=50\\ \Omega, L=20\\ \text{mH} e f=100\\ \text{Hz}.
  • Observação: os componentes estão em série, então as impedâncias se somam.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (explicação didática):
  • A impedância de um resistor puro é um número real igual à resistência:
Z_R = R
onde R é a resistência em \Omega. Em um resistor a tensão e a corrente estão em fase.
  • A impedância de um indutor é puramente imaginária e cresce com a frequência:
Z_L = j\,\omega\,L
onde j é a unidade imaginária ( j^2=-1), \omega é a frequência angular em \text{rad/s} e L é a indutância em henries ( \text{H}). Em um indutor a tensão adianta a corrente.

Passo 3

Definição e cálculo da frequência angular:
  • A frequência angular \omega relaciona a frequência em hertz com radianos por segundo:
\omega = 2\pi f
  • Substituindo f=100\\ \text{Hz}:
\omega = 2\pi\cdot 100 = 200\pi\\ \text{rad/s}\approx 628{,}3185\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Converter a indutância para henries e calcular a reatância indutiva:
  • L=20\\ \text{mH}=20\times 10^{-3}\\ \text{H}.
  • A reatância indutiva é X_L=\omega L. Então
X_L = (200\pi)\cdot(20\times 10^{-3}) = 4\pi\\ \Omega.
  • Numericamente,
X_L \approx 4\pi \approx 12{,}5663706\\ \Omega,
que arredondando convenientemente dá 12{,}57\\ \Omega.

Passo 5

Formar a impedância total no caso série:
  • Em série as impedâncias somam: Z = Z_R + Z_L.
  • Substituindo Z_R=R e Z_L=jX_L:
Z = R + jX_L.
  • Com os valores numéricos:
Z = 50 + j\,12{,}5663706\\ \Omega \approx 50 + j\,12{,}57\\ \Omega.

Passo 6

Converter para forma polar (módulo e ângulo) — passo a passo:
  • O módulo (magnitude) de uma impedância complexa Z=R+jX é
|Z|=\sqrt{R^{2}+X^{2}}.
  • Calculando:
R^{2}=50^{2}=2500,
X^{2}\approx 12{,}5663706^{2}\approx 157{,}91367,
|Z|=\sqrt{2500+157{,}91367}=\sqrt{2657{,}91367}\approx 51{,}547\\ \Omega.
  • Arredondando de forma prática para a prova: |Z|\approx 51{,}5\\ \Omega.

Passo 7

Calcular o ângulo de fase:
  • O ângulo \theta (em radianos) é dado por
\theta=\arctan\!\left(\frac{X}{R}\right).
  • Substituindo os valores:
\frac{X}{R}=\frac{12{,}5663706}{50}\approx 0{,}2513274.
  • Em graus:
\theta=\arctan(0{,}2513274)\times\frac{180}{\pi}\approx 14{,}09^\circ.
  • Arredondando: \theta\approx 14{,}1^\circ. (Sinal positivo indica comportamento indutivo.)

Passo 8

Escrever as duas formas finais da impedância (retangular e polar):
  • Forma retangular:
Z \approx 50 + j\,12{,}57\\ \Omega.
  • Forma polar:
Z \approx 51{,}5 \angle 14{,}1^\circ\\ \Omega.

Resposta

Z=(50 + j\,12{,}57)\\ \Omega
51{,}5 \angle 14{,}1^\circ\\ \Omega

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