Uma fonte conectada em Y equilibrada com sequência \mathrm{ABC} \operatorname{com} \hat{V}_{A N}= 100 \angle 10^{\circ}\left[V_{e f}\right] é conectada a uma carga em triângulo \Delta equilibrada (8+j 4) \Omega por fase. Calcule as correntes de fase e de linha.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (resumindo de forma clara):
  • Fonte: conexão em Y equilibrada, sequência \mathrm{ABC}.
  • Tensão de fase da fonte (fase A em relação ao neutro): \hat{V}_{AN}=100\angle10^\circ\\ \text{V}.
  • Carga: conexão em triângulo \Delta equilibrada, impedância por ramo \;Z_\Delta=8+j4\\ \Omega.
  • O que pedir: calcular as correntes de fase da carga (correntes nos ramos do \Delta) e as correntes de linha (correntes que saem da fonte: I_A,I_B,I_C).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A carga é equilibrada em \Delta então todos os ramos têm a mesma impedância Z_\Delta.
  • Por ser sistema equilibrado, as magnitudes das correntes dos ramos do \Delta serão iguais e defasadas de 120^\circ entre si; o mesmo vale para as correntes de linha.
  • Para calcular correntes do \Delta é preciso conhecer as tensões entre linhas (tensões linha-linha): \hat{V}_{AB},\hat{V}_{BC},\hat{V}_{CA}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas fundamentais (com explicação didática):
  • Relação entre tensões de fase (linha-neutro) e tensões linha-linha num sistema equilibrado com sequência \mathrm{ABC}: \hat{V}_{AB}=\hat{V}_{AN}-\hat{V}_{BN}.Para um sistema equilibrado isso implica a fórmula prática \hat{V}_{LL}=\sqrt{3}\,\hat{V}_{ph}\angle(-30^\circ)no sentido de que, por exemplo, \hat{V}_{AB}=\sqrt{3}\,\hat{V}_{AN}\angle(-30^\circ).Explicação rápida: a tensão linha-linha tem magnitude \sqrt{3} vezes a tensão de fase e está atrasada de 30^\circ em relação à tensão de fase da primeira letra do par (para sequência ABC).
  • Para carga em \Delta: a tensão em cada ramo do \Delta é a tensão linha-linha correspondente. A corrente no ramo (corrente de fase do \Delta) é \hat{I}_{AB}=\frac{\hat{V}_{AB}}{Z_\Delta},\quad \hat{I}_{BC}=\frac{\hat{V}_{BC}}{Z_\Delta},\quad \hat{I}_{CA}=\frac{\hat{V}_{CA}}{Z_\Delta}.
  • Relação entre correntes de ramo do \Delta e correntes de linha: escolhendo a convenção de corrente em cada ramo no sentido A→B, B→C, C→A, a corrente de linha em A é a soma algébrica das correntes que chegam/saem do nó A no \Delta. Com a convenção A→B, C→A, tem-se \hat{I}_A=\hat{I}_{AB}-\hat{I}_{CA},e analogamente para as outras fases. Para um sistema equilibrado isso leva à relação prática |\hat{I}_{\text{linha}}|=\sqrt{3}\,|\hat{I}_{\text{ramo}}|e a corrente de linha está defasada -30^\circ em relação à corrente do ramo correspondente (explicarei isso quando aplicar).

Passo 3

Calcular as tensões linha-linha usando \hat{V}_{AN}=100\angle10^\circ\\ \text{V}.
Primeiro escrevo as tensões de fase das outras fases (sequência ABC):
\hat{V}_{BN}=100\angle(10^\circ-120^\circ)=100\angle(-110^\circ),
\hat{V}_{CN}=100\angle(10^\circ+120^\circ)=100\angle130^\circ.
Agora uso a relação direta para \hat{V}_{AB} (mesma magnitude para as três tensões linha-linha):
\hat{V}_{AB}=\sqrt{3}\cdot100\angle(10^\circ-30^\circ)=\sqrt{3}\cdot100\angle(-20^\circ).
Cálculo numérico da magnitude:
\sqrt{3}\cdot100=173{,}2050808\\ \text{V} \approx 173{,}205\\ \text{V}.
Assim
\hat{V}_{AB}=173{,}205\angle(-20^\circ)\\ \text{V}.
As outras duas tensões, em sequência ABC, são defasadas de -120^\circ cada:
\hat{V}_{BC}=173{,}205\angle(-20^\circ-120^\circ)=173{,}205\angle(-140^\circ),
\hat{V}_{CA}=173{,}205\angle(-20^\circ+120^\circ)=173{,}205\angle100^\circ.

Passo 4

Característica da impedância da carga (aprender a manipular número complexo):
Z_\Delta=8+j4.
Calculo do módulo e da fase de Z_\Delta:
|Z_\Delta|=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}=8{,}94427191\\ \Omega,
\angle Z_\Delta=\arctan\!\left(\frac{4}{8}\right)=\arctan\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=26{,}565^\circ.
Ou seja, em forma fasorial:
Z_\Delta=8{,}94427191\angle26{,}565^\circ\\ \Omega.

Passo 5

Calcular as correntes de fase do \Delta (correntes nos ramos). Usa-se \hat{I}_{AB}=\hat{V}_{AB}/Z_\Delta, etc.
Para \hat{I}_{AB}:
\hat{I}_{AB}=\frac{173{,}205\angle(-20^\circ)}{8{,}94427191\angle26{,}565^\circ} =\frac{173{,}205}{8{,}94427191}\angle(-20^\circ-26{,}565^\circ).
Cálculo numérico:
\frac{173{,}205}{8{,}94427191}\approx19{,}36491673,
-20^\circ-26{,}565^\circ=-46{,}565^\circ.
Portanto
\hat{I}_{AB}=19{,}3649\angle(-46{,}565^\circ)\\ \text{A}.
Analogamente,
\hat{I}_{BC}=\frac{173{,}205\angle(-140^\circ)}{8{,}94427191\angle26{,}565^\circ} =19{,}3649\angle(-140^\circ-26{,}565^\circ) =19{,}3649\angle(-166{,}565^\circ)\\ \text{A},
\hat{I}_{CA}=19{,}3649\angle(100^\circ-26{,}565^\circ) =19{,}3649\angle73{,}435^\circ\\ \text{A}.
Observação didática: os três ramos têm mesma magnitude e estão defasados de 120^\circ entre si (verifique: -46{,}565^\circ - (-166{,}565^\circ)=120^\circ, etc.), o que confirma o equilíbrio.

Passo 6

Calcular as correntes de linha. Vou usar a relação vetorial
\hat{I}_A=\hat{I}_{AB}-\hat{I}_{CA}.
Explicação didática curta: no nó A do triângulo, a corrente que entra pela linha A é a resultante das correntes nos dois ramos que se ligam a A (uma entra e outra sai), por isso a diferença algébrica.
Em sistemas equilibrados existe uma relação direta e útil: se a corrente em cada ramo do \Delta tem magnitude I_\Delta e ângulo \theta (por exemplo \hat{I}_{AB}=I_\Delta\angle\theta), então
\hat{I}_A=\sqrt{3}\,I_\Delta\angle(\theta-30^\circ).
Vou aplicar essa relação (posso demonstrar com soma vetorial, mas aqui uso a forma prática que facilita cálculo na prova).
Tomando \hat{I}_{AB}=19{,}3649\angle(-46{,}565^\circ) como referência:
|\hat{I}_A|=\sqrt{3}\cdot19{,}3649=1{,}7320508\cdot19{,}3649\approx33{,}54101966\\ \text{A},
ângulo:
\angle\hat{I}_A=-46{,}565^\circ-30^\circ=-76{,}565^\circ.
Logo
\hat{I}_A=33{,}5410\angle(-76{,}565^\circ)\\ \text{A}.
Como o sistema é equilibrado, as outras correntes de linha são obtidas por deslocamento de -120^\circ (sequência ABC):
\hat{I}_B=\hat{I}_A\angle(-120^\circ)=33{,}5410\angle(-76{,}565^\circ-120^\circ) =33{,}5410\angle43{,}435^\circ,
\hat{I}_C=\hat{I}_A\angle(+120^\circ)=33{,}5410\angle163{,}435^\circ.
Verificação rápida (opcional na prova): podia-se também fazer \hat{I}_A=\hat{I}_{AB}-\hat{I}_{CA} calculando as componentes reais e imaginárias e obtém-se o mesmo resultado (teste de consistência).

Passo 7

Interpretação final e dica de prova: procedimento curto para prova (passos resumidos):
  • Converter \hat{V}_{AN} para as tensões linha-linha: \hat{V}_{LL}=\sqrt{3}\hat{V}_{ph}\angle(-30^\circ).
  • Dividir por Z_\Delta para obter correntes de ramo do \Delta.
  • Usar \hat{I}_{\text{linha}}=\sqrt{3}\,\hat{I}_{\text{ramo}}\angle(-30^\circ) (ou fazer diferença vetorial) para obter correntes de linha.

Resposta

\hat{I}_{AB}=19{,}3649\angle(-46{,}565^\circ)\\ \text{A}
\hat{I}_{BC}=19{,}3649\angle(-166{,}565^\circ)\\ \text{A}
\hat{I}_{CA}=19{,}3649\angle73{,}435^\circ\\ \text{A}
\hat{I}_A=33{,}5410\angle(-76{,}565^\circ)\\ \text{A}
\hat{I}_B=33{,}5410\angle43{,}435^\circ\\ \text{A}
\hat{I}_C=33{,}5410\angle163{,}435^\circ\\ \text{A}

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