Uma fonte ligada em Y com impedância 0,2+\mathrm{j} 0,5 \Omega / \varphi alimenta uma carga ligada em \Delta por meio de uma linha de distribuição cuja impedância é 0,3+j 0,9 \Omega / \varphi. A impedância de carga é de 118,5+j 85,8 \Omega / \varphi. Use a tensão a vazio da fase a do gerador como referência.
a. Calcule a potência complexa total fornecida à carga ligada em \Delta;
b. Qual a porcentagem da potência média disponível no início da linha é fornecida à carga?

Passo 1

O enunciado dá um gerador trifásico ligado em Y com impedância interna por fase Z_g = 0{,}2 + \mathrm{j}\,0{,}5\\ \Omega/\varphi (essa é a impedância série do gerador por fase), uma linha de distribuição por fase com impedância Z_l = 0{,}3 + \mathrm{j}\,0{,}9\\ \Omega/\varphi e uma carga ligada em \Delta com impedância por ramo Z_\Delta = 118{,}5 + \mathrm{j}\,85{,}8\\ \Omega/\varphi. O enunciado pede duas coisas:
a) a potência complexa total fornecida à carga ligada em \Delta (ou seja, a potência trifásica absorvida pela carga);
b) qual a porcentagem da potência média disponível no início da linha que é fornecida à carga (ou seja, que fração da potência ativa disponível no ponto inicial da linha chega efetivamente à carga).
Observação: o enunciado pede que a tensão a vazio da fase a do gerador seja usada como referência de fase (ou seja, \angle 0 para \underline{V}_{an}). O enunciado não fornece o valor numérico da magnitude de \underline{V}_{an}; portanto apresentarei a potência em função de |\underline{V}_{an}|^2. Também usarei o fato de que o sistema é equilibrado, o que permite transformar a carga \Delta em uma equivalente em Y para facilitar a análise por fase.

Passo 2

Por que transformar a carga \Delta em Y?
  • Em sistemas trifásicos equilibrados é muito comum transformar uma carga \Delta em uma carga equivalente em Y para analisar circuito “por fase”. A relação é:
Z_Y=\frac{Z_\Delta}{3}.
Aqui Z_Y é a impedância equivalente por fase entre cada linha e o ponto neutro fictício da carga Y. Isso preserva as potências e correntes de linha em regime equilibrado. Vou aplicar essa fórmula ao dado Z_\Delta.

Passo 3

Calculemos Z_Y:
Z_Y=\frac{118{,}5+\mathrm{j}\,85{,}8}{3}=39{,}5+\mathrm{j}\,28{,}6\\ \Omega.
Expliquei o que é cada número: 118{,}5 e 85{,}8 são as partes real e imaginária da impedância por ramo do \Delta. Dividir por 3 dá a impedância por fase do Y equivalente.

Passo 4

Agora montamos o circuito por fase (equivalente): tensão de fase do gerador \underline{V}_{an} (referência), em série com Z_g do gerador, depois em série com Z_l da linha e finalmente a impedância de carga por fase Z_Y até o neutro. Em símbolos:
Z_{\text{tot}} = Z_g + Z_l + Z_Y.
Vou somar as partes reais e imaginárias separadamente.

Passo 5

Some as impedâncias por fase:
Z_g + Z_l = (0{,}2+0{,}3) + \mathrm{j}(0{,}5+0{,}9) = 0{,}5 + \mathrm{j}\,1{,}4.
Agora some com Z_Y:
Z_{\text{tot}} = 0{,}5 + 39{,}5 + \mathrm{j}\,(1{,}4+28{,}6) = 40 + \mathrm{j}\,30\\ \Omega.
Observação: é conveniente notar que |Z_{\text{tot}}|^2 = 40^2 + 30^2 = 2500, portanto |Z_{\text{tot}}| = 50\\ \Omega. Isso simplifica os próximos cálculos.

Passo 6

A corrente por fase (corrente de linha, no circuito por fase) é dada por:
\underline{I}=\frac{\underline{V}_{an}}{Z_{\text{tot}}}=\frac{\underline{V}_{an}}{40+\mathrm{j}\,30}.
Explicando a fórmula: em circuito série por fase, a corrente é a tensão fase do gerador dividida pela impedância total por fase. Como o sistema é equilibrado, a mesma corrente vale nas três fases (com defasagens apropriadas).

Passo 7

Para calcular a potência complexa absorvida pela carga (trifásica total) podemos usar a equivalência com Y: a potência complexa absorvida por cada fase do Y é
S_{\text{fase}} = V_{\text{fase, carga}}\; I^*.
Mas V_{\text{fase, carga}}=\underline{I}\,Z_Y. Logo
S_{\text{fase}} = \underline{I}\,Z_Y\,\underline{I}^* = |\underline{I}|^2 Z_Y.
E a potência trifásica total é
S_{\text{carga}} = 3\,S_{\text{fase}} = 3\,|\underline{I}|^2 Z_Y.
Aqui Z_Y é complexa e o produto dá o valor complexo da potência (ativa e reativa).

Passo 8

Calcule |\underline{I}|^2. Como \underline{I}=\underline{V}_{an}/(40+\mathrm{j}\,30), temos
|\underline{I}|^2=\frac{|\underline{V}_{an}|^2}{|40+\mathrm{j}\,30|^2}=\frac{|\underline{V}_{an}|^2}{2500}.
Substituindo em S_{\text{carga}}:
S_{\text{carga}} = 3\cdot\frac{|\underline{V}_{an}|^2}{2500}\;Z_Y.
Mas 3Z_Y=Z_\Delta. Assim
S_{\text{carga}}=\frac{|\underline{V}_{an}|^2}{2500}\;Z_\Delta.

Passo 9

Agora substituímos o valor numérico de Z_\Delta:
S_{\text{carga}}=\frac{|\underline{V}_{an}|^2}{2500}\left(118{,}5+\mathrm{j}\,85{,}8\right)\\ \mathrm{VA}.
Se quisermos separar parte ativa e reativa, podemos escrever:
S_{\text{carga}}=|\underline{V}_{an}|^2\left(0{,}0474 + \mathrm{j}\,0{,}03432\right)\\ \mathrm{VA}.
Observação prática: se, por exemplo, |\underline{V}_{an}|=230\\ \mathrm{V}, então |\underline{V}_{an}|^2=52900 e
S_{\text{carga}}\approx 52900\cdot(0{,}0474+\mathrm{j}\,0{,}03432)\approx 2508{,}5+\mathrm{j}\,1815{,}9\\ \mathrm{VA}.
Mas esse número depende da escolha de |\underline{V}_{an}|; a expressão geral acima é a resposta exata em função da tensão de fase do gerador.

Passo 10

Agora calculamos a porcentagem pedida na alínea (b). A interpretação que usarei: “a potência média disponível no início da linha” é a potência (ativa) entregue no ponto imediatamente antes da linha, ou seja, no nó entre o gerador (após sua impedância interna) e o início da linha. Em termos de potências complexas, a potência que sai desse nó para a linha é
S_{\text{início}} = 3\,\underline{V}_1\,\underline{I}^*,í
onde \underline{V}_1 é a tensão de fase nesse ponto (começo da linha). Podemos relacionar \underline{V}_1 com \underline{V}_{an} e \underline{I}:
\underline{V}_1=\underline{V}_{an}-\underline{I}\,Z_g.
Cálculo direto usando \underline{I}=\underline{V}_{an}/Z_{\text{tot}} dá um resultado em função de |\underline{V}_{an}|^2, e a razão das potências ativas será independente de |\underline{V}_{an}|^2 (pois ambas as potências são proporcionais a |\underline{V}_{an}|^2).

Passo 11

Calculemos S_{\text{início}}í de forma algébrica conveniente. Começando por \underline{V}_1\underline{I}^*:
\underline{V}_1\underline{I}^*=(\underline{V}_{an}-\underline{I}Z_g)\underline{I}^*=\underline{V}_{an}\underline{I}^* - |\underline{I}|^2 Z_g.
Sabemos \underline{I}=\underline{V}_{an}/Z_{\text{tot}}, então
\underline{V}_{an}\underline{I}^*=\frac{|\underline{V}_{an}|^2}{Z_{\text{tot}}^*} \quad\text{e}\quad |\underline{I}|^2=\frac{|\underline{V}_{an}|^2}{|Z_{\text{tot}}|^2}=\frac{|\underline{V}_{an}|^2}{2500}.
Mas é mais direto formar \underline{V}_1\underline{I}^* escrevendo \underline{V}_1=(Z_l+Z_Y)\dfrac{\underline{V}_{an}}{Z_{\text{tot}}}, pois \underline{V}_1 é a queda de tensão sobre a parte da impedância à montante do ponto de aterramento da carga. Assim
\underline{V}_1\underline{I}^*=\frac{|\underline{V}_{an}|^2}{|Z_{\text{tot}}|^2}\,(Z_l+Z_Y).
Multiplicando por 3 obtemos
S_{\text{início}}=3\,\underline{V}_1\underline{I}^*=\frac{|\underline{V}_{an}|^2}{2500}\;3\,(Z_l+Z_Y).í

Passo 12

Calcule numericamente 3(Z_l+Z_Y). Já tínhamos Z_l+Z_Y=(0{,}3+39{,}5)+\mathrm{j}(0{,}9+28{,}6)=39{,}8+\mathrm{j}\,29{,}5. Multiplicando por 3:
3(Z_l+Z_Y)=119{,}4+\mathrm{j}\,88{,}5.
Portanto
S_{\text{início}}=\frac{|\underline{V}_{an}|^2}{2500}\left(119{,}4+\mathrm{j}\,88{,}5\right)\\ \mathrm{VA}.í

Passo 13

Agora a porcentagem da potência média disponível no início da linha que é fornecida à carga é a razão entre as potências ativas (partes reais):
\text{Percentual}=\frac{P_{\text{carga}}}{P_{\text{início}}}\times 100\%=\frac{\Re\{S_{\text{carga}}\}}{\Re\{S_{\text{início}}\}}\times100\%.íí
Substituindo os coeficientes obtidos:
\Re\{S_{\text{carga}}\}=\frac{|\underline{V}_{an}|^2}{2500}\cdot 118{,}5,\qquad \Re\{S_{\text{início}}\}=\frac{|\underline{V}_{an}|^2}{2500}\cdot 119{,}4.í
Os fatores |\underline{V}_{an}|^2/2500 cancelam, restando
\text{Percentual}=\frac{118{,}5}{119{,}4}\times100\%\approx 99{,}25\%.

Resposta

S_{\text{carga}}=\dfrac{|\underline{V}_{an}|^2}{2500}\left(118{,}5+\mathrm{j}\,85{,}8\right)\\ \mathrm{VA}.
\text{Percentual}\approx 99{,}25\%.

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