Uma fonte ligada em Y com impedância 0,2+\mathrm{j} 0,5 \Omega / \varphi alimenta uma carga ligada em \Delta por meio de uma linha de distribuição cuja impedância é 0,3+j 0,9 \Omega / \varphi. A impedância de carga é de 118,5+j 85,8 \Omega / \varphi. Use a tensão a vazio da fase a do gerador como referência.
a. Calcule a potência complexa total fornecida à carga ligada em \Delta;
b. Qual a porcentagem da potência média disponível no início da linha é fornecida à carga?
Passo 1
O enunciado dá um gerador trifásico ligado em Y com impedância interna por fase Z_g = 0{,}2 + \mathrm{j}\,0{,}5\\ \Omega/\varphi (essa é a impedância série do gerador por fase), uma linha de distribuição por fase com impedância Z_l = 0{,}3 + \mathrm{j}\,0{,}9\\ \Omega/\varphi e uma carga ligada em \Delta com impedância por ramo Z_\Delta = 118{,}5 + \mathrm{j}\,85{,}8\\ \Omega/\varphi. O enunciado pede duas coisas:
a) a potência complexa total fornecida à carga ligada em \Delta (ou seja, a potência trifásica absorvida pela carga);
b) qual a porcentagem da potência média disponível no início da linha que é fornecida à carga (ou seja, que fração da potência ativa disponível no ponto inicial da linha chega efetivamente à carga).
Observação: o enunciado pede que a tensão a vazio da fase a do gerador seja usada como referência de fase (ou seja, \angle 0 para \underline{V}_{an}). O enunciado não fornece o valor numérico da magnitude de \underline{V}_{an}; portanto apresentarei a potência em função de |\underline{V}_{an}|^2. Também usarei o fato de que o sistema é equilibrado, o que permite transformar a carga \Delta em uma equivalente em Y para facilitar a análise por fase.
Passo 2
Por que transformar a carga \Delta em Y?
Em sistemas trifásicos equilibrados é muito comum transformar uma carga \Delta em uma carga equivalente em Y para analisar circuito “por fase”. A relação é:
Z_Y=\frac{Z_\Delta}{3}.
Aqui Z_Y é a impedância equivalente por fase entre cada linha e o ponto neutro fictício da carga Y. Isso preserva as potências e correntes de linha em regime equilibrado. Vou aplicar essa fórmula ao dado Z_\Delta.
Expliquei o que é cada número: 118{,}5 e 85{,}8 são as partes real e imaginária da impedância por ramo do \Delta. Dividir por 3 dá a impedância por fase do Y equivalente.
Passo 4
Agora montamos o circuito por fase (equivalente): tensão de fase do gerador \underline{V}_{an} (referência), em série com Z_g do gerador, depois em série com Z_l da linha e finalmente a impedância de carga por fase Z_Y até o neutro. Em símbolos:
Z_{\text{tot}} = Z_g + Z_l + Z_Y.
Vou somar as partes reais e imaginárias separadamente.
Explicando a fórmula: em circuito série por fase, a corrente é a tensão fase do gerador dividida pela impedância total por fase. Como o sistema é equilibrado, a mesma corrente vale nas três fases (com defasagens apropriadas).
Passo 7
Para calcular a potência complexa absorvida pela carga (trifásica total) podemos usar a equivalência com Y: a potência complexa absorvida por cada fase do Y é
S_{\text{fase}} = V_{\text{fase, carga}}\; I^*.
Mas V_{\text{fase, carga}}=\underline{I}\,Z_Y. Logo
Mas esse número depende da escolha de |\underline{V}_{an}|; a expressão geral acima é a resposta exata em função da tensão de fase do gerador.
Passo 10
Agora calculamos a porcentagem pedida na alínea (b). A interpretação que usarei: “a potência média disponível no início da linha” é a potência (ativa) entregue no ponto imediatamente antes da linha, ou seja, no nó entre o gerador (após sua impedância interna) e o início da linha. Em termos de potências complexas, a potência que sai desse nó para a linha é
Cálculo direto usando \underline{I}=\underline{V}_{an}/Z_{\text{tot}} dá um resultado em função de |\underline{V}_{an}|^2, e a razão das potências ativas será independente de |\underline{V}_{an}|^2 (pois ambas as potências são proporcionais a |\underline{V}_{an}|^2).
Passo 11
Calculemos S_{\text{início}}í de forma algébrica conveniente. Começando por \underline{V}_1\underline{I}^*:
Mas é mais direto formar \underline{V}_1\underline{I}^* escrevendo \underline{V}_1=(Z_l+Z_Y)\dfrac{\underline{V}_{an}}{Z_{\text{tot}}}, pois \underline{V}_1 é a queda de tensão sobre a parte da impedância à montante do ponto de aterramento da carga. Assim