Uma carga trifásica equilibrada requer 480 kW a um fator de potência atrasado de 0,8 . A carga é alimentada por uma linha de impedância 0,005+j 0,025 \Omega / \varphi. A tensão de linha nos terminais da carga é de 600 V .
a. Construa um circuito monofásico equivalente do sistema;
b. Calcule o módulo da corrente de linha;
c. Calcule o módulo da tensão de linha no início dela;
d. Calcule o fator de potência no início da linha.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados nos fornece:
  • Perguntas:
    a. Construir o circuito monofásico equivalente do sistema (por fase).
    b. Calcular o módulo da corrente de linha.
    c. Calcular o módulo da tensão de linha no início da linha (tensão de envio).
    d. Calcular o fator de potência no início da linha.
  • Dados fornecidos:
    • Potência ativa trifásica consumida: \;480\\ \text{kW}.
    • Fator de potência no ponto da carga: \;0{,}8 atrasado.
    • Impedância da linha por fase: \;Z_{\ell}=0{,}005+j\,0{,}025\\ \Omega/\varphi.
    • Tensão de linha nos terminais da carga: \;V_{LL,\text{carga}}=600\\ \text{V}.
Observações importantes (retiradas do enunciado): a carga é trifásica equilibrada, então podemos trabalhar com o circuito monofásico equivalente por fase (cada fase é igual).

Passo 2

Converter os dados trifásicos para o equivalente por fase e montar o circuito monofásico:
  • A relação entre tensão de linha (linha a linha) e tensão fase (linha a neutro) em sistema estrela é
V_{ph}=\frac{V_{LL}}{\sqrt{3}}.
Como o enunciado deu V_{LL,\text{carga}}=600\\ \text{V}, temos
V_{ph,\text{carga}}=\frac{600}{\sqrt{3}} \approx 346{,}41\\ \text{V}.
  • A potência aparente total trifásica é \;S_{tot}=\dfrac{P_{tot}}{\text{PF}}. Então
S_{tot}=\frac{480\\ \text{kW}}{0{,}8}=600\\ \text{kVA}.
Em sistema equilibrado, por fase:
S_{ph}=\frac{S_{tot}}{3}=200\\ \text{kVA}=200\,000\\ \text{VA}.
  • Podemos também obter as partes ativa e reativa por fase. Primeiro o ângulo da carga:
\varphi=\operatorname{arccos}(0{,}8)\approx 36{,}869897^\circ.
Como \tan\varphi=\dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=\dfrac{0{,}6}{0{,}8}=0{,}75, a reativa total trifásica é Q_{tot}=P_{tot}\tan\varphi=480\cdot0{,}75=360\\ \text{kVAr}. Portanto por fase:
P_{ph}=\frac{480\\ \text{kW}}{3}=160\\ \text{kW}=160\,000\\ \text{W},
Q_{ph}=\frac{360\\ \text{kVAr}}{3}=120\\ \text{kVAr}=120\,000\\ \text{VAr}.
Logo o número complexo por fase é
S_{ph}=P_{ph}+jQ_{ph}=160\,000 + j\,120\,000\\ \text{VA}.
  • Montagem do circuito monofásico equivalente (resposta do item a): por fase temos uma fonte de tensão igual a V_{ph,\text{carga}}=346{,}41\\ \text{V} (tensão nos terminais da carga), em série com a impedância de linha Z_{\ell}=0{,}005+j\,0{,}025\\ \Omega, alimentando a carga que consome S_{ph}=160\,000+j\,120\,000\\ \text{VA}. (Isto responde o item a.)

Passo 3

Calcular a corrente de linha por fase (módulo e fase):
  • Fórmula básica: a corrente por fase pode ser obtida pela relação entre potência aparente por fase e tensão de fase:
|I_{ph}|=\frac{|S_{ph}|}{|V_{ph}|}.
Aqui |S_{ph}|=200{,}000\\ \text{VA} e |V_{ph}|=346{,}41\\ \text{V}. Então
|I_{ph}|=\frac{200{,}000}{346{,}41}\approx 577{,}35\\ \text{A}.
  • Alternativamente, usando potência ativa e PF:
|I_{ph}|=\frac{P_{ph}}{V_{ph}\cdot\text{PF}}=\frac{160{,}000}{346{,}41\cdot 0{,}8}\approx 577{,}35\\ \text{A},
o que confirma o resultado.
  • A corrente é atrasada em \varphi em relação à tensão da carga, então o fasor de corrente por fase é
I_{ph}=577{,}35\angle -36{,}8699^\circ\\ \text{A}.
(Isto responde o item b.)

Passo 4

Calcular a queda de tensão na linha por fase e a tensão no início da linha (tensão de envio) em fasores:
  • A queda de tensão por fase é
\Delta V = I_{ph}\cdot Z_{\ell}.
Para multiplicar fasores é útil calcular módulo e ângulo de Z_{\ell}:
|Z_{\ell}|=\sqrt{0{,}005^{2}+0{,}025^{2}}=\sqrt{0{,}000025+0{,}000625}=0{,}025495\\ \Omega,
\angle Z_{\ell}=\arctan\!\left(\frac{0{,}025}{0{,}005}\right)\approx 78{,}6901^\circ.
  • Produto de fasores (módulos e soma de ângulos):
|\Delta V|=|I_{ph}|\cdot|Z_{\ell}|=577{,}35\cdot 0{,}025495\approx 14{,}723\\ \text{V},
\angle \Delta V = \angle I_{ph} + \angle Z_{\ell} = -36{,}8699^\circ + 78{,}6901^\circ = 41{,}8202^\circ.
  • Converter \Delta V para componentes retas e imaginárias:
\Delta V_{\text{re}}=14{,}723\cos(41{,}8202^\circ)\approx 10{,}98\\ \text{V},
\Delta V_{\text{im}}=14{,}723\sin(41{,}8202^\circ)\approx 9{,}80\\ \text{V}.
  • A tensão no terminal da carga (por fase) como fasor tomamos referência real zero:
V_{ph,\text{carga}}=346{,}41\angle 0^\circ = 346{,}41 + j\,0\\ \text{V}.
Somando a queda:
V_{ph,\text{rem}}=V_{ph,\text{carga}}+\Delta V=(346{,}41+10{,}98)+j(0+9{,}80)=357{,}39 + j\,9{,}80\\ \text{V}.
  • Módulo da tensão por fase no início da linha:
|V_{ph,\text{rem}}|=\sqrt{357{,}39^{2}+9{,}80^{2}}\approx 357{,}57\\ \text{V}.
  • Converter para tensão de linha (linha a linha) no início:
V_{LL,\text{rem}}=\sqrt{3}\;|V_{ph,\text{rem}}| \approx \sqrt{3}\cdot 357{,}57 \approx 619{,}06\\ \text{V}.
(Isto responde o item c: módulo da tensão de linha no início ≈ 619{,}06\\ \text{V}.)

Passo 5

Calcular o fator de potência no início da linha:
  • O fator de potência na extremidade de envio é o cosseno do ângulo entre a tensão de envio V_{ph,\text{rem}} e a corrente I_{ph}. Já temos:
    • \angle V_{ph,\text{rem}}=\arctan\!\left(\dfrac{9{,}80}{357{,}39}\right)\approx 1{,}571^\circ.
    • \angle I_{ph}=-36{,}8699^\circ.
  • Então o ângulo entre tensão e corrente na origem é
\varphi_{\text{rem}}=\angle V_{ph,\text{rem}}-\angle I_{ph}=1{,}571^\circ - (-36{,}8699^\circ)=38{,}4409^\circ.
  • O fator de potência na origem é
\text{PF}_{\text{rem}}=\cos(\varphi_{\text{rem}})=\cos(38{,}4409^\circ)\approx 0{,}7828.
Como \varphi_{\text{rem}}>0 e a corrente continua atrasando a tensão, o fator de potência é atrasado (lagging).
  • (Verificação rápida de potência total enviada) Podemos calcular a potência aparente enviada por fase
S_{ph,\text{rem}}=V_{ph,\text{rem}}\;I_{ph}^*,
o que daria um ângulo igual a \varphi_{\text{rem}} e magnitude aproximadamente 206{,}391\\ \text{kVA} por fase, ou 619{,}173\\ \text{kVA} total. O real enviado seria \approx 485\\ \text{kW}, mostrando perdas na linha de cerca de 5\\ \text{kW}. Isso confirma que o PF na origem é ligeiramente pior que no fim da linha.
(Isto responde o item d: \text{PF}_{\text{rem}}\approx 0{,}783 atrasado.)

Resposta

(a) Circuito monofásico equivalente por fase: fonte de tensão V_{ph,\text{carga}}=346{,}41\\ \text{V} em série com Z_{\ell}=0{,}005+j\,0{,}025\\ \Omega, alimentando carga com S_{ph}=160\,000 + j\,120\,000\\ \text{VA}.\n (b) \(|I_{linha}|=577{,}35\\ \text{A}.\n \text{(c)} \(|V_{LL,\text{início}}| \approx 619{,}06\\ \text{V}.\n (d) \(\text{PF}_{\text{início}} \approx 0{,}783 (atrasado).)

Exercícios relacionados