O transformador de 2400: 240 \mathrm{~V} e 50 kVA é conectado em forma de autotransformador, como mostrado na figura, na qual ab é o enrolamento de 240 V e bc é o de 2400 V . (Supõe-se que o enrolamento de 240 V tem isolação suficiente para suportar uma tensão de 2640 V em relação à terra.)
a) Calcule as tensões nominais V_{A} e V_{B} nos lados de alta e baixa tensão, respectivamente, do autotransformador.
b) Calcule a especificação nominal em kVA do autotransformador.
c) Calcule o rendimento a plena carga do autotransformador, operando com uma carga nominal cujo fator de potência é 0,80 atrasado, sabendo que suas perdas são 803 W .

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que é pedido e o que foi dado):
  • Temos um transformador com relação de tensões 2400:240\\ \mathrm{V} e potência nominal 50\\ \mathrm{kVA}.
  • No autotransformador mostrado, o enrolamento ab corresponde a 240\\ \mathrm{V} e o enrolamento bc corresponde a 2400\\ \mathrm{V}. Logo, os terminais em série são a b c.
  • Foi observada a informação de que o enrolamento de 240\\ \mathrm{V} suporta até 2640\\ \mathrm{V} em relação à terra (isto é só uma observação de isolamento).
  • Perguntas pedidas:
    1. Calcular as tensões nominais V_{A} (lado de alta tensão) e V_{B} (lado de baixa tensão) do autotransformador.
    2. Calcular a especificação nominal em kVA do autotransformador (isto é, a potência aparente que o autotransformador pode fornecer nominalmente).
    3. Calcular o rendimento (eficiência) a plena carga do autotransformador operando com carga nominal com fator de potência 0,80 atrasado, sabendo que as perdas totais são 803\\ \mathrm{W}.

Passo 2

Entendendo as tensões e como obter V_{A} e V_{B}:
  • O autotransformador é formado por um enrolamento contínuo com um tap em b. Os dois trechos dados são ab=240\\ \mathrm{V} e bc=2400\\ \mathrm{V}.
  • A tensão entre os extremos a e c (lado de alta tensão do autotransformador) é a soma das duas tensões em série:
V_{A} = V_{ac} = V_{ab} + V_{bc}.
  • A tensão do lado de baixa tensão corresponde ao trecho ab, portanto:
V_{B} = V_{ab}.
  • Substituindo os valores fornecidos:
V_{A} = 240\\ \mathrm{V} + 2400\\ \mathrm{V} = 2640\\ \mathrm{V},
V_{B} = 240\\ \mathrm{V}.
(Comentário: isto usa apenas a regra de que tensões em série se somam.)

Passo 3

Como obter a potência nominal do autotransformador a partir do transformador original (intuição e fórmula):
  • O transformador original de duas bobinas tem potência nominal S_{\text{tr}}=50\\ \mathrm{kVA}. Essa potência refere-se à potência que é transferida magneticamente através da parte isolada (isto é, através da bobina de 2400\\ \mathrm{V} / 240\\ \mathrm{V}).
  • No autotransformador, parte da potência é conduzida diretamente (via conexão série) e parte é transferida magneticamente. O resultado é que a potência aparente que pode ser fornecida pelos terminais do autotransformador é maior do que S_{\text{tr}}.
  • Uma forma direta e clara de obter a potência nominal do autotransformador é usar correntes e relações de tensão do transformador ideal. Vamos construir isso passo a passo:
    1. Relação entre tensões e número de espiras: a razão de espiras é proporcional às tensões. Se chamarmos o trecho ab de “pequeno” ( V_{ab}=240\\ \mathrm{V}) e bc de “grande” ( V_{bc}=2400\\ \mathrm{V}), então a razão de espiras entre eles é
    \frac{N_{ab}}{N_{bc}}=\frac{V_{ab}}{V_{bc}}=\frac{240}{2400}=0{,}1.
    1. Correntes nominais no transformador de duas bobinas: a corrente nominal do lado de baixa tensão (o enrolamento de 240\\ \mathrm{V}) é
    I_{B,\text{nom}}=\frac{S_{\text{tr}}}{V_{B}}=\frac{50\,000\\ \mathrm{VA}}{240\\ \mathrm{V}}=208{,}333\\ \mathrm{A}.
    A corrente nominal do lado de alta (o enrolamento de 2400\\ \mathrm{V}) é
    I_{\text{HV,nom}}=\frac{S_{\text{tr}}}{2400\\ \mathrm{V}}=\frac{50\,000}{2400}=20{,}833\\ \mathrm{A}.
    1. Relação de ampère-espiras no autotransformador (ideal): em regime ideal, a soma algébrica das ampère-espiras ao redor do núcleo deve ser zero. Com as orientações certas, chega-se à relação que liga a corrente que circula pelo enrolamento total I_{ac} (corrente fornecida pela fonte aos terminais do autotransformador) com a corrente de carga I_{\text{load}} (que circula no trecho ab):
    N_{ab}\,I_{\text{load}} = N_{bc}\,I_{ac}.
    Isolando I_{ac}:
    I_{ac} = \frac{N_{ab}}{N_{bc}}\,I_{\text{load}} = \frac{V_{ab}}{V_{bc}}\,I_{\text{load}}.
    Se a carga é exatamente a carga nominal do transformador original, então I_{\text{load}}=I_{B,\text{nom}}. Substituindo,
    I_{ac} = \frac{V_{ab}}{V_{bc}} \cdot \frac{S_{\text{tr}}}{V_{ab}} = \frac{S_{\text{tr}}}{V_{bc}}.
    Observe que I_{ac} coincide com a corrente nominal do antigo lado de alta tensão do transformador (faz sentido físico).
    1. A potência aparente fornecida pelos terminais do autotransformador (potência nominal do autotransformador) é
    S_{\text{auto}} = V_{ac}\,I_{ac}.
    Substituindo I_{ac} = \dfrac{S_{\text{tr}}}{V_{bc}} e V_{ac}=V_{ab}+V_{bc},
    S_{\text{auto}} = (V_{ab}+V_{bc})\cdot\frac{S_{\text{tr}}}{V_{bc}} = S_{\text{tr}}\cdot\frac{V_{ab}+V_{bc}}{V_{bc}}.
    Esta é a fórmula geral (mostra quanto maior fica a potência aparente disponível nos terminais do autotransformador em relação ao transformador original).

Passo 4

Cálculo numérico da potência nominal do autotransformador:
  • Substituindo os valores:
S_{\text{auto}} = 50\\ \mathrm{kVA}\cdot\frac{240\\ \mathrm{V}+2400\\ \mathrm{V}}{2400\\ \mathrm{V}} = 50\\ \mathrm{kVA}\cdot\frac{2640}{2400}.
  • Calculando:
\frac{2640}{2400}=1{,}1,
portanto
S_{\text{auto}} = 50\\ \mathrm{kVA}\times 1{,}1 = 55\\ \mathrm{kVA}.
(Interpretação física rápida: pelo autotransformador a potência aparente nos terminais aumenta em 10\% em relação ao transformador de duas bobinas, porque a tensão total é 10\% maior que a tensão do enrolamento de 2400\\ \mathrm{V}.)

Passo 5

Cálculo do rendimento a plena carga com fator de potência 0{,}80 e perdas 803\\ \mathrm{W}:
  • A plena carga aqui refere-se à carga nominal do autotransformador, isto é, S_{\text{auto}}=55\\ \mathrm{kVA}.
  • A potência ativa de saída (potência real entregue à carga) é
P_{\text{out}} = S_{\text{auto}}\times\text{pf} = 55\,000\\ \mathrm{VA}\times 0{,}80 = 44\,000\\ \mathrm{W}.
  • As perdas totais dadas são P_{\text{perdas}}=803\\ \mathrm{W}. A potência de entrada será
P_{\text{in}} = P_{\text{out}} + P_{\text{perdas}} = 44\,000 + 803 = 44\,803\\ \mathrm{W}.
  • O rendimento (eficiência) é a razão entre P_{\text{out}} e P_{\text{in}}:
\eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}} = \frac{44\,000}{44\,803}.
  • Calculando numericamente:
\eta \approx 0{,}98207\quad\text{ou}\quad 98{,}21\%.

Resposta

V_{A}=2640\\ \mathrm{V}
V_{B}=240\\ \mathrm{V}
S_{\text{autotransformador}}=55\\ \mathrm{kVA}
\eta_{\text{plena carga}} \approx 98{,}21\%

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