Uma fonte sonora fixa emite um som de frequência fo. O som é refletido por um objeto que se aproxima da fonte com velocidade u. O eco refletido volta para a fonte, onde interfere com as ondas que estão sendo emitidas, dando origem a batimentos, com frequência \Delta f. Podese afirmar que o módulo de u, em função de \Delta f, f_{\circ} e da velocidade v do som, é:
a) u=\frac{v \Delta f}{2 f_{0}-\Delta f}.
b) u=\frac{v \Delta f}{f_{0}+\Delta f}.
c) u=\frac{v \Delta f}{2 f_{0}+\Delta f}.
d) u=\frac{v \Delta f}{4 f_{0}+\Delta f}.
e) u=\frac{v \Delta f}{f_{o}-\Delta f}.

Passo 1

Resumindo o enunciado: uma fonte fixa emite um som de frequência \!f_{0}, um objeto se aproxima da fonte com velocidade \!u e reflete esse som de volta. Na fonte original, o eco (com frequência diferente) interfere com as ondas emitidas, gerando batimentos de frequência \!\Delta f. O que precisamos é aplicar duas vezes o efeito Doppler (ida e volta) e usar a definição de batimentos \Delta f = |f_{\text{eco}} - f_{0}|.

Passo 2

Na ida, o objeto é um observador que se move em direção à fonte. Pela fórmula do efeito Doppler para observador móvel:
f_{1} = f_{0}\;\frac{v + u}{v}.

Passo 3

Na volta, o objeto reflete o som e age como uma fonte móvel que se aproxima da fonte original. A frequência do eco recebida na fonte é
f_{2} = f_{1}\;\frac{v}{\,v - u\,} = f_{0}\;\frac{v + u}{\,v - u\,}.

Passo 4

A frequência de batimentos é a diferença entre a frequência do eco e a frequência emitida:
\Delta f = f_{2} - f_{0} = f_{0}\!\biggl(\frac{v + u}{\,v - u\,} - 1\biggr) = f_{0}\;\frac{2u}{\,v - u\,}.

Passo 5

Agora isolamos u em \Delta f = \dfrac{2f_{0}u}{v - u}:
\Delta f\,(v - u) = 2f_{0}\,u \quad\Longrightarrow\quad \Delta f\,v = u\,(2f_{0} + \Delta f) \quad\Longrightarrow\quad u = \frac{v\,\Delta f}{2f_{0} + \Delta f}.

Resposta

c) u = \dfrac{v\,\Delta f}{2f_{0} + \Delta f}.

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