Uma fonte trifásica com 100 volts-eficazes de linha entrega potência a uma carga equilibrada conectada em Y com \mathrm{Zl}=8+\mathrm{j} 6 (ohms), ligada em paralelo com uma carga conectada em delta com \mathrm{Z} 2=12+\mathrm{j} 9 (ohms). Calcule as potências ativa, reativa e aparente entregue pela fonte

Passo 1

O enunciado trata de calcular as potências de uma fonte trifásica equilibrada que alimenta duas cargas em paralelo: uma conectada em estrela com impedância de fase \mathrm{Z}_1 = 8 + j6,Ω e outra em delta com impedância de ramo \mathrm{Z}_2 = 12 + j9,Ω. A fonte fornece tensão de linha-para-linha V_{LL} = 100,V (eficaz). Vamos usar as fórmulas de sistemas trifásicos balanceados:
– Para estrela: V_{fase}=V_{LL}/\sqrt{3}, I_{fase}=V_{fase}/Z_1,
\displaystyle P_1=3\,I_{fase}^2\,\Re(Z_1), \displaystyle Q_1=3\,I_{fase}^2\,\Im(Z_1).
– Para delta: cada ramo vê V_{LL}, I_{ramo}=V_{LL}/Z_2,
\displaystyle P_2=3\,I_{ramo}^2\,\Re(Z_2), \displaystyle Q_2=3\,I_{ramo}^2\,\Im(Z_2).
Depois somamos as potências das duas cargas.

Passo 2

Calcular a carga em estrela ( \mathrm{Z}_1)
V_{fase}=\frac{V_{LL}}{\sqrt{3}}=\frac{100}{\sqrt{3}}\approx57{,}735\text{ V}.
A impedância tem módulo \bigl|Z_1\bigr|=\sqrt{8^2+6^2}=10,Ω, logo
I_{fase}=\frac{V_{fase}}{Z_1}=\frac{57{,}735}{10}\approx5{,}7735\text{ A},\quad\varphi_1=\arctan\frac{6}{8}=36{,}87^\circ.
Assim
P_1=3\,I_{fase}^2\,\Re(Z_1)=3\,(5{,}7735)^2\cdot8\approx800\text{ W},
Q_1=3\,I_{fase}^2\,\Im(Z_1)=3\,(5{,}7735)^2\cdot6\approx600\text{ var},
S_1=P_1+jQ_1=800+j600\text{ VA}.

Passo 3

Calcular a carga em delta ( \mathrm{Z}_2)
A impedância tem módulo \bigl|Z_2\bigr|=\sqrt{12^2+9^2}=15,Ω, então cada ramo vê
I_{ramo}=\frac{V_{LL}}{Z_2}=\frac{100}{15}\approx6{,}6667\text{ A},\quad\varphi_2=\arctan\frac{9}{12}=36{,}87^\circ.
As potências são
P_2=3\,I_{ramo}^2\,\Re(Z_2)=3\,(6{,}6667)^2\cdot12\approx1600\text{ W},
Q_2=3\,I_{ramo}^2\,\Im(Z_2)=3\,(6{,}6667)^2\cdot9\approx1200\text{ var},
S_2=P_2+jQ_2=1600+j1200\text{ VA}.

Passo 4

Somar as potências das duas cargas para obter o total fornecido pela fonte:
P_{total}=P_1+P_2=800+1600=2400\text{ W},
Q_{total}=Q_1+Q_2=600+1200=1800\text{ var},
S_{total}=P_{total}+j\,Q_{total}=2400+j1800\text{ VA}, \quad\bigl|S_{total}\bigr|=\sqrt{2400^2+1800^2}=3000\text{ VA}.

Resposta

Pativa =2400 W
Qreativa =1800 var
Saparente =3000 VA

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