For the given matrix/vector pairs, compute the following quantities: . For each case, point out whether the result is a scalar, vector or matrix. Note that is actually the matrix product [a] , while is the product .
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve multiplicação de matrizes e vetores. A matéria aqui é Álgebra Linear, que trata de operações com matrizes e vetores. Vamos precisar entender como multiplicar matrizes por vetores e como combinar diferentes tipos de produtos. O objetivo é calcular várias expressões envolvendo a matriz e o vetor , e também identificar se o resultado de cada expressão é um escalar, vetor ou matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz aij = 1 & 1 & 1 0 & 4 & 2 0 & 1 & 1 , bi = 1 0 2 e o vetor :
Passo 3
Vamos calcular aii = a11 + a22 + a33 = 1 + 4 + 1 = 6 . Isso representa a soma dos elementos diagonais da matriz . Em álgebra linear, essa soma é conhecida como traço da matriz.
Resultado: (Escalar)
Passo 4
Agora, vamos calcular aij aij = (1)^2 + (1)^2 + (1)^2 + (0)^2 + (4)^2 + (2)^2 + (0)^2 + (1)^2 + (1)^2 = 1 + 1 + 1 + 0 + 16 + 4 + 0 + 1 + 1 = 25 . Isso significa que vamos multiplicar cada elemento da matriz por ele mesmo e depois somar todos esses produtos.
Resultado: (Escalar)
Passo 5
Vamos calcular [a cdot a]ik = sumj=1^3 aij ajk . Aqui, estamos fazendo a multiplicação de duas matrizes, o que resulta em outra matriz. Para multiplicar matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda, o que está ok aqui.
Agora, multiplicamos 3 & 0 & 6 4 & 0 & 8 2 & 0 & 4 por essa nova matriz:
Vamos calcular cada elemento:
Primeira linha:
Segunda linha:
Terceira linha:
Então, a matriz resultante é:
Resultado: (Matriz)
Passo 8
Por último, vamos calcular bi bi = (1)^2 + (0)^2 + (2)^2 = 1 + 0 + 4 = 5 . Isso é a soma dos produtos dos elementos correspondentes do vetor , ou seja, é o produto interno de consigo mesmo.