For the given matrix/vector pairs, compute the following quantities: ai i, ai j ai j, ai j aj k, ai j bj, ai j bi bj, bi bi. For each case, point out whether the result is a scalar, vector or matrix. Note that ai j bj is actually the matrix product [a] b, while ai j aj k is the product [a][a].
(a) ai j=[lll1 & 1 & 1 0 & 4 & 2 0 & 1 & 1], bi=[l1 0 2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve multiplicação de matrizes e vetores. A matéria aqui é Álgebra Linear, que trata de operações com matrizes e vetores. Vamos precisar entender como multiplicar matrizes por vetores e como combinar diferentes tipos de produtos. O objetivo é calcular várias expressões envolvendo a matriz e o vetor , e também identificar se o resultado de cada expressão é um escalar, vetor ou matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz aij = 1 & 1 & 1 0 & 4 & 2 0 & 1 & 1 , bi = 1 0 2 e o vetor :

Passo 3

Vamos calcular aii = a11 + a22 + a33 = 1 + 4 + 1 = 6 . Isso representa a soma dos elementos diagonais da matriz . Em álgebra linear, essa soma é conhecida como traço da matriz.
Resultado: (Escalar)

Passo 4

Agora, vamos calcular aij aij = (1)^2 + (1)^2 + (1)^2 + (0)^2 + (4)^2 + (2)^2 + (0)^2 + (1)^2 + (1)^2 = 1 + 1 + 1 + 0 + 16 + 4 + 0 + 1 + 1 = 25 . Isso significa que vamos multiplicar cada elemento da matriz por ele mesmo e depois somar todos esses produtos.
Resultado: (Escalar)

Passo 5

Vamos calcular [a cdot a]ik = sumj=1^3 aij ajk . Aqui, estamos fazendo a multiplicação de duas matrizes, o que resulta em outra matriz. Para multiplicar matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda, o que está ok aqui.
Primeiro, vamos multiplicar [aa]11 &= 1 cdot 1 + 1 cdot 0 + 1 cdot 0 = 1 + 0 + 0 = 1 [aa]12 &= 1 cdot 1 + 1 cdot 4 + 1 cdot 1 = 1 + 4 + 1 = 6 [aa]13 &= 1 cdot 1 + 1 cdot 2 + 1 cdot 1 = 1 + 2 + 1 = 4 por [aa]21 &= 0 cdot 1 + 4 cdot 0 + 2 cdot 0 = 0 + 0 + 0 = 0 [aa]22 &= 0 cdot 1 + 4 cdot 4 + 2 cdot 1 = 0 + 16 + 2 = 18 [aa]23 &= 0 cdot 1 + 4 cdot 2 + 2 cdot 1 = 0 + 8 + 2 = 10 :
[aa]31 &= 0 cdot 1 + 1 cdot 0 + 1 cdot 0 = 0 + 0 + 0 = 0 [aa]32 &= 0 cdot 1 + 1 cdot 4 + 1 cdot 1 = 0 + 4 + 1 = 5 [aa]33 &= 0 cdot 1 + 1 cdot 2 + 1 cdot 1 = 0 + 2 + 1 = 3
Vamos calcular cada elemento da nova matriz:
Primeira linha:
aij ajk = 1 & 6 & 4 0 & 18 & 10 0 & 5 & 3
Segunda linha:
1 & 6 & 4 0 & 18 & 10 0 & 5 & 3
Terceira linha:
Então, a matriz resultante é:
Resultado: (Matriz)

Passo 6

Vamos calcular aij bj = 1 & 1 & 1 0 & 4 & 2 0 & 1 & 1 1 0 2 = (1 cdot 1) + (1 cdot 0) + (1 cdot 2) (0 cdot 1) + (4 cdot 0) + (2 cdot 2) (0 cdot 1) + (1 cdot 0) + (1 cdot 2) = 1 + 0 + 2 0 + 0 + 4 0 + 0 + 2 = 3 4 2 . Isso é a multiplicação de uma matriz por um vetor, resultando em um vetor. Para fazer isso, multiplicamos cada linha da matriz pelo vetor.
3 4 2
Resultado: (Vetor)

Passo 7

Agora, vamos calcular bi bj = 1 0 2 1 & 0 & 2 = 1 cdot 1 & 1 cdot 0 & 1 cdot 2 0 cdot 1 & 0 cdot 0 & 0 cdot 2 2 cdot 1 & 2 cdot 0 & 2 cdot 2 = 1 & 0 & 2 0 & 0 & 0 2 & 0 & 4 . Isso envolve multiplicar a matriz aij bi bj = 1 & 1 & 1 0 & 4 & 2 0 & 1 & 1 1 & 0 & 2 0 & 0 & 0 2 & 0 & 4 = (1 cdot 1) + (1 cdot 0) + (1 cdot 2) & dots & dots dots & dots & dots dots & dots & dots pelo produto dos vetores [abi bj]11 &= 1 cdot 1 + 1 cdot 0 + 1 cdot 2 = 1 + 0 + 2 = 3 [abi bj]12 &= 1 cdot 0 + 1 cdot 0 + 1 cdot 0 = 0 + 0 + 0 = 0 [abi bj]13 &= 1 cdot 2 + 1 cdot 0 + 1 cdot 4 = 2 + 0 + 4 = 6 e [abi bj]21 &= 0 cdot 1 + 4 cdot 0 + 2 cdot 2 = 0 + 0 + 4 = 4 [abi bj]22 &= 0 cdot 0 + 4 cdot 0 + 2 cdot 0 = 0 + 0 + 0 = 0 [abi bj]23 &= 0 cdot 2 + 4 cdot 0 + 2 cdot 4 = 0 + 0 + 8 = 8 . Primeiro, vamos entender que [abi bj]31 &= 0 cdot 1 + 1 cdot 0 + 1 cdot 2 = 0 + 0 + 2 = 2 [abi bj]32 &= 0 cdot 0 + 1 cdot 0 + 1 cdot 0 = 0 + 0 + 0 = 0 [abi bj]33 &= 0 cdot 2 + 1 cdot 0 + 1 cdot 4 = 0 + 0 + 4 = 4 é a multiplicação externa dos vetores, resultando em uma matriz.
aij bi bj = 3 & 0 & 6 4 & 0 & 8 2 & 0 & 4
Agora, multiplicamos 3 & 0 & 6 4 & 0 & 8 2 & 0 & 4 por essa nova matriz:
Vamos calcular cada elemento:
Primeira linha:
Segunda linha:
Terceira linha:
Então, a matriz resultante é:
Resultado: (Matriz)

Passo 8

Por último, vamos calcular bi bi = (1)^2 + (0)^2 + (2)^2 = 1 + 0 + 4 = 5 . Isso é a soma dos produtos dos elementos correspondentes do vetor , ou seja, é o produto interno de consigo mesmo.
Resultado: (Escalar)

Resposta

Os resultados das expressões são:
aii &= 6 &(Escalar) aij aij &= 25 &(Escalar) aij ajk &= 1 & 6 & 4 0 & 18 & 10 0 & 5 & 3 &(Matriz) aij bj &= 3 4 2 &(Vetor) aij bi bj &= 3 & 0 & 6 4 & 0 & 8 2 & 0 & 4 &(Matriz) bi bi &= 5 &(Escalar)

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