Se A for um vetor constante e r for o vetor que vai desde a origem até o ponto (x, y, z), demonstre que
(\mathbf{r}-\mathbf{A}) \cdot \mathbf{A}=0
será a equação de um plano.

Passo 1

O enunciado dá:
\mathbf{A} é um vetor constante (ou seja, seus componentes não dependem de x,y,z).
\mathbf{r} é o vetor posição do ponto (x,y,z), isto é, o vetor que vai da origem até o ponto (x,y,z).
A pergunta é: mostrar que a equação
(\mathbf{r}-\mathbf{A})\cdot\mathbf{A}=0
é a equação de um plano.
Não vou resolver nada aqui ainda — apenas identifiquei o que é dado e o que se pede.

Passo 2

Vamos traduzir tudo em componentes e lembrar a definição de produto escalar (dot product) — passo fundamental porque assim transformamos o enunciado numa equação em x,y,z.
Seja \mathbf{A}=(a_{1},a_{2},a_{3}) (isso significa que a_{1},a_{2},a_{3} são as componentes constantes de \mathbf{A}) e seja \mathbf{r}=(x,y,z).
O produto escalar entre dois vetores \mathbf{u}=(u_{1},u_{2},u_{3}) e \mathbf{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}) é definido por
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}.
Aqui vamos usar essa definição para expressar \mathbf{r}\cdot\mathbf{A} e \mathbf{A}\cdot\mathbf{A}.

Passo 3

Calculemos os termos:
\mathbf{r}\cdot\mathbf{A}=a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z,
\mathbf{A}\cdot\mathbf{A}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}.
Agora expandimos a expressão dada usando a linearidade do produto escalar:
(\mathbf{r}-\mathbf{A})\cdot\mathbf{A}=\mathbf{r}\cdot\mathbf{A}-\mathbf{A}\cdot\mathbf{A}.
Colocando isso igual a zero (como no enunciado) obtemos
\mathbf{r}\cdot\mathbf{A}-\mathbf{A}\cdot\mathbf{A}=0
ou seja
\mathbf{r}\cdot\mathbf{A}=\mathbf{A}\cdot\mathbf{A}.

Passo 4

Escrevendo explicitamente em coordenadas a última igualdade fica
a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}.
Isto é uma equação linear em x,y,z. Uma equação linear da forma
n_{1}x+n_{2}y+n_{3}z=d
é precisamente a equação cartesiana de um plano no espaço, com vetor normal \mathbf{n}=(n_{1},n_{2},n_{3}). Portanto a equação acima define um plano. Aqui o vetor normal é \mathbf{A}=(a_{1},a_{2},a_{3}) e a constante do lado direito é d=\mathbf{A}\cdot\mathbf{A}.

Passo 5

Interpretação geométrica rápida e checagem de pontos para fixar a ideia (isso ajuda na prova):
A igualdade original (\mathbf{r}-\mathbf{A})\cdot\mathbf{A}=0 diz que o vetor \mathbf{r}-\mathbf{A} é perpendicular a \mathbf{A}. Como \mathbf{r}-\mathbf{A} é o vetor que vai do ponto de posição \mathbf{A} até o ponto \mathbf{r}, isso significa: todos os pontos P cujos vetores posição \mathbf{r} satisfazem a equação são tais que o segmento AP é perpendicular a \overrightarrow{OA}. Em linguagem curta: é o plano que passa por A e é ortogonal ao vetor \mathbf{A}.
Nota importante sobre o caso degenerado: se \mathbf{A}=\mathbf{0} então (\mathbf{r}-\mathbf{A})\cdot\mathbf{A}=0 vira 0=0 e não define um plano (na verdade dá todo o espaço). Para ser um plano não degenerado precisamos de \mathbf{A}\neq\mathbf{0}.

Passo 6

Dois exemplos simples para sentir o resultado:
Se \mathbf{A}=(0,0,1) então a equação fica 0\cdot x+0\cdot y+1\cdot z=1, ou seja z=1 — o plano horizontal que passa por z=1.
Se \mathbf{A}=(1,0,0) então a equação fica x=1 — o plano vertical perpendicular ao eixo x que passa por x=1.

Resposta


\displaystyle a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}, com \mathbf{A}=(a_{1},a_{2},a_{3}). Este é um plano de normal \mathbf{A} que passa pelo ponto de posição \mathbf{A} (para \mathbf{A}\neq\mathbf{0}).

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