Se
forem vetores que vão desde a origem até os pontos
, demonstre que
será perpendicular ao plano
.
Passo 1
O enunciado dá três vetores
que vão da origem até os pontos
. Pede-se para demonstrar que o vetor
é perpendicular ao plano que passa pelos pontos
(denotado por plano
).\n
Informações relevantes que temos: são vetores posição; o plano
é gerado por vetores do tipo
e
. A demonstração deve mostrar que o vetor dado é ortogonal a quaisquer vetores do plano, por exemplo a
e a
.
Informações relevantes que temos:
Passo 2
Estratégia clara (só a estratégia, sem resolver ainda): para provar que um vetor
é perpendicular a um plano, basta provar que
é ortogonal a dois vetores linearmente independentes que geram esse plano. Aqui vou tomar
e vou calcular
e
. Se ambos forem zero,
é perpendicular ao plano
. Antes de calcular, preciso lembrar uma propriedade importante do produto misto (produto triplo escalar).
Passo 3
Lembrete importante (aula rápida e prática): produto misto e sua propriedade cíclica.
Definição/identidade que usaremos: para quaisquer vetores
,
Isto é o produto escalar de um produto vetorial com um terceiro vetor — também chamado de produto misto ou triplo escalar. Uma consequência útil é a invariância cíclica:
Explicação curta do porquê: o produto misto é igual ao determinante das três coordenadas formadas por
; um determinante é invariante sob permutações cíclicas das colunas, daí a identidade acima. Outra observação simples e útil: se dois vetores se repetem no produto misto, ele vale zero, por exemplo
, porque
é perpendicular a
.
Passo 4
Calculemos
passo a passo.
Começo expandindo o produto escalar distributivo:
Agora distribuo cada termo:
Mas, como observei antes,
é perpendicular tanto a
quanto a
, então
Portanto o primeiro par de termos dá zero:
Agora os outros dois:
e
Somando tudo, ficamos com
Passo 5
Agora uso a invariância cíclica do produto misto (Passo 3). Pelas igualdades cíclicas,
Portanto os dois termos que restaram em
são iguais, e temos
onde
representa o valor comum
.
Assim mostramos
.
Passo 6
De modo completamente análogo (ou por simetria) calculamos
. Repetindo os mesmos passos de expansão e usando que produtos mistos com vetores repetidos são zero e a invariância cíclica, obtemos imediatamente
(Se quiseres, fazes a expansão term a term igual ao Passo 4; o raciocínio é o mesmo e as duas somas cancelam por invariância cíclica.)
Passo 7
Conclusão:
e
são dois vetores linearmente independentes que geram o plano
. Já mostramos que
é ortogonal a ambos:
Logo
é perpendicular a todo vetor do plano
, isto é,
é perpendicular ao plano
. (Missão cumprida — e tu conseguiu acompanhar até aqui!)