Se \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} forem vetores que vão desde a origem até os pontos A, B, C, demonstre que
(\mathbf{A} \times \mathbf{B})+(\mathbf{B} \times \mathbf{C})+(\mathbf{C} \times \mathbf{A})
será perpendicular ao plano A B C.

Passo 1

O enunciado dá três vetores \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} que vão da origem até os pontos A,B,C. Pede-se para demonstrar que o vetor
(\mathbf{A}\times\mathbf{B})+(\mathbf{B}\times\mathbf{C})+(\mathbf{C}\times\mathbf{A})
é perpendicular ao plano que passa pelos pontos A,B,C (denotado por plano ABC).\n
Informações relevantes que temos: \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} são vetores posição; o plano ABC é gerado por vetores do tipo \mathbf{B}-\mathbf{A} e \mathbf{C}-\mathbf{A}. A demonstração deve mostrar que o vetor dado é ortogonal a quaisquer vetores do plano, por exemplo a \mathbf{B}-\mathbf{A} e a \mathbf{C}-\mathbf{A}.

Passo 2

Estratégia clara (só a estratégia, sem resolver ainda): para provar que um vetor \mathbf{S} é perpendicular a um plano, basta provar que \mathbf{S} é ortogonal a dois vetores linearmente independentes que geram esse plano. Aqui vou tomar
\mathbf{S}=(\mathbf{A}\times\mathbf{B})+(\mathbf{B}\times\mathbf{C})+(\mathbf{C}\times\mathbf{A})
e vou calcular \mathbf{S}\cdot(\mathbf{B}-\mathbf{A}) e \mathbf{S}\cdot(\mathbf{C}-\mathbf{A}). Se ambos forem zero, \mathbf{S} é perpendicular ao plano ABC. Antes de calcular, preciso lembrar uma propriedade importante do produto misto (produto triplo escalar).

Passo 3

Lembrete importante (aula rápida e prática): produto misto e sua propriedade cíclica.
Definição/identidade que usaremos: para quaisquer vetores \mathbf{X},\mathbf{Y},\mathbf{Z},
(\mathbf{X}\times\mathbf{Y})\cdot\mathbf{Z}=\mathbf{X}\cdot(\mathbf{Y}\times\mathbf{Z}).
Isto é o produto escalar de um produto vetorial com um terceiro vetor — também chamado de produto misto ou triplo escalar. Uma consequência útil é a invariância cíclica:
(\mathbf{X}\times\mathbf{Y})\cdot\mathbf{Z}=(\mathbf{Y}\times\mathbf{Z})\cdot\mathbf{X}=(\mathbf{Z}\times\mathbf{X})\cdot\mathbf{Y}.
Explicação curta do porquê: o produto misto é igual ao determinante das três coordenadas formadas por \mathbf{X},\mathbf{Y},\mathbf{Z}; um determinante é invariante sob permutações cíclicas das colunas, daí a identidade acima. Outra observação simples e útil: se dois vetores se repetem no produto misto, ele vale zero, por exemplo (\mathbf{X}\times\mathbf{Y})\cdot\mathbf{X}=0, porque \mathbf{X}\times\mathbf{Y} é perpendicular a \mathbf{X}.

Passo 4

Calculemos \mathbf{S}\cdot(\mathbf{B}-\mathbf{A}) passo a passo.
Começo expandindo o produto escalar distributivo:
\mathbf{S}\cdot(\mathbf{B}-\mathbf{A})= (\mathbf{A}\times\mathbf{B})\cdot(\mathbf{B}-\mathbf{A}) +(\mathbf{B}\times\mathbf{C})\cdot(\mathbf{B}-\mathbf{A}) +(\mathbf{C}\times\mathbf{A})\cdot(\mathbf{B}-\mathbf{A}).
Agora distribuo cada termo:
(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\cdot(\mathbf{B}-\mathbf{A}) =(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{B}-(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{A}.
Mas, como observei antes, (\mathbf{A}\times\mathbf{B}) é perpendicular tanto a \mathbf{A} quanto a \mathbf{B}, então
(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{B}=0,\qquad (\mathbf{A}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{A}=0.
Portanto o primeiro par de termos dá zero:
(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\cdot(\mathbf{B}-\mathbf{A})=0.
Agora os outros dois:
(\mathbf{B}\times\mathbf{C})\cdot(\mathbf{B}-\mathbf{A}) =(\mathbf{B}\times\mathbf{C})\cdot\mathbf{B}-(\mathbf{B}\times\mathbf{C})\cdot\mathbf{A} =0-(\mathbf{B}\times\mathbf{C})\cdot\mathbf{A} =-(\mathbf{B}\times\mathbf{C})\cdot\mathbf{A},
e
(\mathbf{C}\times\mathbf{A})\cdot(\mathbf{B}-\mathbf{A}) =(\mathbf{C}\times\mathbf{A})\cdot\mathbf{B}-(\mathbf{C}\times\mathbf{A})\cdot\mathbf{A} =(\mathbf{C}\times\mathbf{A})\cdot\mathbf{B}-0 =(\mathbf{C}\times\mathbf{A})\cdot\mathbf{B}.
Somando tudo, ficamos com
\mathbf{S}\cdot(\mathbf{B}-\mathbf{A}) = -(\mathbf{B}\times\mathbf{C})\cdot\mathbf{A} + (\mathbf{C}\times\mathbf{A})\cdot\mathbf{B}.

Passo 5

Agora uso a invariância cíclica do produto misto (Passo 3). Pelas igualdades cíclicas,
(\mathbf{B}\times\mathbf{C})\cdot\mathbf{A}=(\mathbf{C}\times\mathbf{A})\cdot\mathbf{B}=(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{C}.
Portanto os dois termos que restaram em \mathbf{S}\cdot(\mathbf{B}-\mathbf{A}) são iguais, e temos
\mathbf{S}\cdot(\mathbf{B}-\mathbf{A})=-(\mathbf{B}\times\mathbf{C})\cdot\mathbf{A}+(\mathbf{C}\times\mathbf{A})\cdot\mathbf{B}= -T + T = 0,
onde T representa o valor comum (\mathbf{B}\times\mathbf{C})\cdot\mathbf{A}.
Assim mostramos \mathbf{S}\cdot(\mathbf{B}-\mathbf{A})=0.

Passo 6

De modo completamente análogo (ou por simetria) calculamos \mathbf{S}\cdot(\mathbf{C}-\mathbf{A}). Repetindo os mesmos passos de expansão e usando que produtos mistos com vetores repetidos são zero e a invariância cíclica, obtemos imediatamente
\mathbf{S}\cdot(\mathbf{C}-\mathbf{A})=0.
(Se quiseres, fazes a expansão term a term igual ao Passo 4; o raciocínio é o mesmo e as duas somas cancelam por invariância cíclica.)

Passo 7

Conclusão: \mathbf{B}-\mathbf{A} e \mathbf{C}-\mathbf{A} são dois vetores linearmente independentes que geram o plano ABC. Já mostramos que \mathbf{S} é ortogonal a ambos:
\mathbf{S}\cdot(\mathbf{B}-\mathbf{A})=0,\qquad \mathbf{S}\cdot(\mathbf{C}-\mathbf{A})=0.
Logo \mathbf{S} é perpendicular a todo vetor do plano ABC, isto é, \mathbf{S} é perpendicular ao plano ABC. (Missão cumprida — e tu conseguiu acompanhar até aqui!)

Resposta

(\mathbf{A}\times\mathbf{B})+(\mathbf{B}\times\mathbf{C})+(\mathbf{C}\times\mathbf{A}) é perpendicular ao plano ABC.

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