Foram efetuadas 8 medidas do diâmetro (D) de um cabo. Escreva a medida na forma de intervalo. Considere que o erro sistemático associado a esta medida é de 0,4 \mathrm{~mm}. As medidas, em mm, são: 12,2 12,3 12,1 12,2 12,2 12,1 12,4 12,2

Passo 1

O enunciado pede que a medida do diâmetro seja expressa na forma de intervalo, e dá as seguintes informações:
  • Foram feitas 8 medidas (valores em \mathrm{mm}): \;12,2,\;12,3,\;12,1,\;12,2,\;12,2,\;12,1,\;12,4,\;12,2.
  • Existe um erro sistemático associado igual a \;0,4\\ \mathrm{mm}.
    O que se quer: escrever o resultado como um intervalo numérico que combine a incerteza aleatória das medições com o erro sistemático informado.

Passo 2

Primeiro calculamos a média aritmética (valor central) das medidas. Fórmula da média de n observações x_1,\dots,x_n:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Aqui n=8 e a soma das medições é
\sum x_i = 12,2+12,3+12,1+12,2+12,2+12,1+12,4+12,2 = 97,7.
Logo a média é
\bar{x}=\frac{97,7}{8}=12,2125\\ \mathrm{mm}.

Passo 3

Agora vamos estimar a incerteza aleatória a partir da variabilidade das medições. Usamos o desvio-padrão amostral s (estimador não viciado) com a fórmula
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2},
onde n-1 corrige o viés da amostra. Calculando os desvios quadráticos:
\sum_{i=1}^{8}(x_i-\bar{x})^2 = 0,06875\\ \mathrm{mm}^2
(este valor obtido somando cada (x_i-\bar{x})^2 — passo a passo numérico foi feito com os números fornecidos). Portanto
s=\sqrt{\frac{0,06875}{7}}=\sqrt{0,0098214286}\approx 0,0991\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

A incerteza aleatória da média (erro padrão da média) é dada por
u_\text{aleatória}=\frac{s}{\sqrt{n}}.ó
Com s\approx0,0991 e n=8,
u_\text{aleatória}=\frac{0,0991}{\sqrt{8}}=\frac{0,0991}{2,828427}\approx 0,0350\\ \mathrm{mm}.ó

Passo 5

Temos também o erro sistemático fornecido pelo enunciado:
u_\text{sistemática}=0,4\\ \mathrm{mm}.á
Esse erro sistemático representa uma incerteza adicional que não diminui ao repetir a medição (não se reduz com \sqrt{n}).

Passo 6

Para obter a incerteza combinada total, convenciona-se combinar as incertezas independente por soma em quadratura (pois são fontes independentes de incerteza):
u_\text{combinada}=\sqrt{u_\text{aleatória}^2+u_\text{sistemática}^2}.óá
Substituindo os valores:
u_\text{combinada}=\sqrt{(0,0350)^2+(0,4)^2}=\sqrt{0,001225+0,16}=\sqrt{0,161225}\approx 0,4015\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Agora construímos o intervalo em torno da média usando a incerteza combinada. O intervalo de confiança (forma “média ± incerteza combinada”) é:
\bar{x}\pm u_\text{combinada}.
Calculando os extremos:
\text{limite inferior}=\;12,2125-0,4015\approx 11,8110\\ \mathrm{mm},
\text{limite superior}=\;12,2125+0,4015\approx 12,6140\\ \mathrm{mm}.

Passo 8

Arredondamento final: a incerteza normalmente é reportada com uma ou duas cifras significativas. Aqui a incerteza combinada é aproximadamente 0,40\\ \mathrm{mm} (duas cifras significativas não fazem diferença prática). Ajustamos a média com a mesma precisão (duas casas decimais):
\bar{x}\approx 12,21\\ \mathrm{mm},\qquad u_\text{combinada}\approx 0,40\\ \mathrm{mm}.
Assim o intervalo fica aproximadamente [11,81;\;12,61]\\ \mathrm{mm}.

Resposta

[11,81\\ \text{mm};\\\ 12,61\\ \text{mm}]

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