Questão 39. Num quadrado de 1 m de lado, tomamos o ponto médio de cada lado e traçamos outro quadrado, inscrito no primeiro. Repetindo esse processo indefinidamente, qual será a soma das áreas de todos os quadrados obtidos?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado:
- Pede: a soma das áreas de todos os quadrados obtidos ao repetir indefinidamente o processo (o quadrado inicial mais todos os quadrados inscritos).
- Dados: o quadrado inicial tem lado
. Em cada passo constrói-se um novo quadrado ligando os pontos médios dos lados do quadrado anterior.
Passo 2
Determinar o comprimento do lado do quadrado inscrito (primeira iteração).
- Denotemos por
o lado do quadrado inicial e por o lado do quadrado formado pelos pontos médios. - Temos
. - Observação geométrica simples: dois vértices opostos do quadrado inscrito são os pontos médios de lados opostos do quadrado original; a distância entre esses dois pontos médios é igual ao lado do quadrado original, isto é, a diagonal
do quadrado inscrito vale . - Relação entre diagonal e lado de um quadrado: se
é o lado então a diagonal vale . - Logo, para o quadrado inscrito vale
- Isolando
obtemos
Passo 3
Determinar as áreas e a razão entre áreas consecutivas.
- Fórmula da área de um quadrado: se o lado é
então a área é . - Área do quadrado inicial:
- Área do primeiro quadrado inscrito:
- Como em cada passo o lado é multiplicado por
, a área é multiplicada por . - Portanto a razão entre áreas consecutivas é
- Assim a sequência de áreas é geométrica com primeiro termo
e razão , ou seja
Passo 4
Somar a série geométrica infinita das áreas.
- A soma parcial dos primeiros
termos de uma progressão geométrica com primeiro termo e razão é
- No nosso caso
e . Como , ao fazer tem-se . - Assim a soma infinita converge e vale
Passo 5
Aplicar a fórmula aos nossos valores e concluir.
- Substituindo
e obtemos
- A unidade é
, porque somamos áreas.