Questão 39. Num quadrado de 1 m de lado, tomamos o ponto médio de cada lado e traçamos outro quadrado, inscrito no primeiro. Repetindo esse processo indefinidamente, qual será a soma das áreas de todos os quadrados obtidos?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado:
  • Pede: a soma das áreas de todos os quadrados obtidos ao repetir indefinidamente o processo (o quadrado inicial mais todos os quadrados inscritos).
  • Dados: o quadrado inicial tem lado 1\\ \text{m}. Em cada passo constrói-se um novo quadrado ligando os pontos médios dos lados do quadrado anterior.

Passo 2

Determinar o comprimento do lado do quadrado inscrito (primeira iteração).
  • Denotemos por s_0 o lado do quadrado inicial e por s_1 o lado do quadrado formado pelos pontos médios.
  • Temos s_0=1.
  • Observação geométrica simples: dois vértices opostos do quadrado inscrito são os pontos médios de lados opostos do quadrado original; a distância entre esses dois pontos médios é igual ao lado do quadrado original, isto é, a diagonal d_1 do quadrado inscrito vale d_1=s_0.
  • Relação entre diagonal e lado de um quadrado: se s é o lado então a diagonal vale s\sqrt{2}.
  • Logo, para o quadrado inscrito vale d_1 = s_1\sqrt{2} = s_0.
  • Isolando s_1 obtemos s_1=\frac{s_0}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 3

Determinar as áreas e a razão entre áreas consecutivas.
  • Fórmula da área de um quadrado: se o lado é s então a área é A=s^2.
  • Área do quadrado inicial: A_0 = s_0^2 = 1^2 = 1.
  • Área do primeiro quadrado inscrito: A_1 = s_1^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}.
  • Como em cada passo o lado é multiplicado por \dfrac{1}{\sqrt{2}}, a área é multiplicada por \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\dfrac{1}{2}.
  • Portanto a razão entre áreas consecutivas é r=\frac{A_{n+1}}{A_n}=\frac{1}{2}.
  • Assim a sequência de áreas é geométrica com primeiro termo A_0=1 e razão r=\dfrac{1}{2}, ou seja A_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n.

Passo 4

Somar a série geométrica infinita das áreas.
  • A soma parcial dos primeiros N+1 termos de uma progressão geométrica com primeiro termo a e razão r\neq1 é
S_N = a\frac{1-r^{\,N+1}}{1-r}.
  • No nosso caso a=A_0=1 e r=\dfrac{1}{2}. Como |r|<1, ao fazer N\to\infty tem-se r^{\,N+1}\to0.
  • Assim a soma infinita converge e vale
S=\lim_{N\to\infty}S_N=\frac{a}{1-r}.

Passo 5

Aplicar a fórmula aos nossos valores e concluir.
  • Substituindo a=1 e r=\dfrac{1}{2} obtemos
S=\frac{1}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{\tfrac{1}{2}}=2.
  • A unidade é \text{m}^2, porque somamos áreas.

Resposta

2\\ \text{m}^2

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