Foram geradas ondas estacionarias com frequência de 5,00 Hz numa corda de 3,00 metros. Com uma tensão de 1,00 N podemos ver o terceiro harmônico e quando variamos a tensão na corda de 1,00 N para 2,25 \mathrm{~N} , o harmônico muda de uma ordem.
Com que tensão é possível produzir o primeiro harmônico?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre ondas estacionárias em uma corda. Precisamos descobrir com que tensão dá para produzir o primeiro harmônico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre ondas e harmônicos em cordas, além de umas relações matemáticas básicas. Vamos precisar entender como a frequência, a tensão e os harmônicos se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a frequência dos harmônicos numa corda vibrante é dada por:
fn = n times v2L
Aqui, $ f_n $ é a frequência do n-ésimo harmônico, $ n $ é o número do harmônico (1 para o primeiro, 2 para o segundo, etc.), $ v $ é a velocidade da onda na corda e $ L $ é o comprimento da corda.

Passo 3

A velocidade da onda na corda depende da tensão $ T $ e da densidade linear da massa $ \mu $ da corda, segundo a fórmula:
T
Como a densidade linear $ \mu $ não foi fornecida, vamos ver se conseguimos relacionar as informações dadas para resolver o problema sem precisar dela.

Passo 4

Sabemos que, com uma tensão de 1,00 N, o terceiro harmônico ($ n = 3 $) é observável. Então, podemos escrever:
n = 3
Onde $ v_1 $ é a velocidade da onda com $ T = 1,00 $ N.

Passo 5

Quando a tensão muda para 2,25 N, o harmônico observado muda de uma ordem. Isso significa que agora observamos o quarto harmônico ($ n = 4 $) com a nova tensão. Então:
n = 4
Onde $ v_2 $ é a velocidade da onda com $ T = 2,25 $ N.

Passo 6

Sabemos que a frequência da onda não muda, continua sendo 5,00 Hz. Então, podemos igualar $ f_3 $ e $ f_4 $ a 5,00 Hz:
f3
f4

Passo 7

Vamos resolver a primeira equação para $ v_1 $:
v1
5,00 = 3 times v16,00
5,00 = v12,00

Passo 8

Agora, a segunda equação para $ v_2 $:
v2
5,00 = 4 times v26,00
5,00 = 2v23,00
v2 = 5,00 times 3,002

Passo 9

Sabemos que $ v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} $, então podemos relacionar $ v_1 $ e $ v_2 $ com suas respectivas tensões:
v = raizTmu
v1

Passo 10

Vamos isolar $ \mu $ na primeira equação:
mu
10,00 = raiz1,00mu
100 = 1,00mu
mu = 1,00100

Passo 11

Agora que sabemos $ \mu mu ãáô n = 1 $). A frequência é sempre 5,00 Hz:
n = 1
f1 = 1 times v2 times 3,00 = 5,00
v6,00 = 5,00

Passo 12

Usando a fórmula da velocidade com $ \mu = 0,01 , kg/m $:
mu = 0,01 , kg/m
30,00 = raizT0,01
900 = T0,01
T = 900 times 0,01

Resposta

A tensão necessária para produzir o primeiro harmônico é de 9,00 N.

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