Foram geradas ondas estacionarias com frequência de
numa corda de 3,00 metros. Com uma tensão de
podemos ver o terceiro harmônico e quando variamos a tensão na corda de
para 2,25 \mathrm{~N} , o harmônico muda de uma ordem.
Com que tensão é possível produzir o primeiro harmônico?
Com que tensão é possível produzir o primeiro harmônico?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre ondas estacionárias em uma corda. Precisamos descobrir com que tensão dá para produzir o primeiro harmônico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre ondas e harmônicos em cordas, além de umas relações matemáticas básicas. Vamos precisar entender como a frequência, a tensão e os harmônicos se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a frequência dos harmônicos numa corda vibrante é dada por:
Aqui, $ f_n $ é a frequência do n-ésimo harmônico, $ n $ é o número do harmônico (1 para o primeiro, 2 para o segundo, etc.), $ v $ é a velocidade da onda na corda e $ L $ é o comprimento da corda.
Passo 3
A velocidade da onda na corda depende da tensão $ T $ e da densidade linear da massa $ \mu $ da corda, segundo a fórmula:
Como a densidade linear $ \mu $ não foi fornecida, vamos ver se conseguimos relacionar as informações dadas para resolver o problema sem precisar dela.
Passo 4
Sabemos que, com uma tensão de 1,00 N, o terceiro harmônico ($ n = 3 $) é observável. Então, podemos escrever:
Onde $ v_1 $ é a velocidade da onda com $ T = 1,00 $ N.
Passo 5
Quando a tensão muda para 2,25 N, o harmônico observado muda de uma ordem. Isso significa que agora observamos o quarto harmônico ($ n = 4 $) com a nova tensão. Então:
Onde $ v_2 $ é a velocidade da onda com $ T = 2,25 $ N.
Passo 6
Sabemos que a frequência da onda não muda, continua sendo 5,00 Hz. Então, podemos igualar $ f_3 $ e $ f_4 $ a 5,00 Hz:
Passo 7
Vamos resolver a primeira equação para $ v_1 $:
Passo 8
Agora, a segunda equação para $ v_2 $:
Passo 9
Sabemos que $ v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} $, então podemos relacionar $ v_1 $ e $ v_2 $ com suas respectivas tensões:
Passo 10
Vamos isolar $ \mu $ na primeira equação:
Passo 11
Agora que sabemos $ \mu
n = 1 $). A frequência é sempre 5,00 Hz:
Passo 12
Usando a fórmula da velocidade com $ \mu = 0,01 , kg/m $:
Resposta
A tensão necessária para produzir o primeiro harmônico é de 9,00 N.