3.9 Um guincho A B é usado para endireitar um mourão. Sabendo que a tração no cabo B C é 1.140 N e o comprimento d é 1,9 \mathrm{~m}, determine o momento em relação a D da força exercida pelo cabo em C decompondo tal força no componente horizontal e no vertical aplicados (a) no ponto C, (b) no ponto E.
3.10 Sabe-se que é necessária uma força com um momento de 960 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} em relação a D para endireitar o mourão C D. Se d=2,8 \mathrm{~m}, determine a tração que deve ser desenvolvida no cabo do guincho A B para se criar o momento necessário em relação ao ponto D.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte.
Dados fornecidos:
  • Tração no cabo BC: T=1140\\ \mathrm{N} (questão 3.9).
  • Comprimento (ou distância) informado em 3.9: d=1{,}9\\ \mathrm{m}.
  • Para 3.10: momento requerido em relação a D é M_{\text{req}}=960\\ \mathrm{N\cdot m} e d=2{,}8\\ \mathrm{m}.
Pedidos:
  • Questão 3.9: determinar o momento em relação a D da força exercida pelo cabo em C decompondo a força nos componentes horizontal e vertical aplicados
    • (a) no ponto C;
    • (b) no ponto E.
  • Questão 3.10: determinar a tração no cabo AB necessária para criar o momento de 960\\ \mathrm{N\cdot m} em relação a D, dado d=2{,}8\\ \mathrm{m}.
Observação importante: o enunciado menciona pontos A,B,C,D,E e um comprimento d, mas não foi enviada a figura nem as coordenadas/ângulos que relacionam esses pontos. Sem essa figura (ou sem coordenadas/ângulos explícitos) não estão todas as informações geométricas necessárias para calcular exatamente os momentos pedidos na 3.9.

Passo 2

Por que não é possível obter todas as respostas numéricas da 3.9 com os dados fornecidos aqui:
  • Para calcular o momento em relação a D de uma força aplicada em C (ou em E) precisamos da posição relativa desse ponto em relação a D. Em prática: ou as coordenadas (x_C,y_C) e (x_E,y_E) relativas a D ou a distância perpendicular (braço de alavanca) da linha de ação da força até D, e/ou o ângulo que a força faz com os eixos.
  • A decomposição em componentes horizontal/vertical depende do ângulo da força; a contribuição de cada componente ao momento depende das coordenadas do ponto onde cada componente é aplicada.
  • Portanto, sem a figura (ou dados equivalentes) não há como calcular numericamente os momentos pedindo em 3.9 (a) e (b).
No entanto: existe um caso especial simples que frequentemente aparece em problemas de livro — quando d é explicitamente a distância perpendicular entre o ponto D e a linha de ação da tração no cabo BC. Nesse caso particular o momento em módulo é simplesmente M= T\cdot d (sinalado de acordo com o sentido). Usarei essa observação mais adiante para dar um valor numérico para a parte que puder ser obtida sem a figura.

Passo 3

Conceitos e fórmulas essenciais (aula curta, passo a passo, sem pular etapas).
  1. Definição de momento (versão vetorial):
\text{Momento em relação a }D: \quad \mathbf{M}_D=\mathbf{r}_{D\to P}\times\mathbf{F},çã
onde \mathbf{r}_{D\to P} é o vetor posição do ponto de aplicação P (por ex. C ou E) medido a partir de D, e \mathbf{F} é a força aplicada naquele ponto. O produto vetorial dá um vetor momento cujo componente fora do plano (no caso 2D) é o escalar de interesse.
  1. Em 2 dimensões (plano xy) a componente do momento perpendicular ao plano (o escalar) é
M_D = x_P F_y - y_P F_x,
onde \mathbf{r}_{D\to P}=(x_P,y_P) e \mathbf{F}=(F_x,F_y). Explico cada símbolo:
  • x_P é a coordenada horizontal do ponto P medida a partir de D.
  • y_P é a coordenada vertical do ponto P medida a partir de D.
  • F_x é a componente horizontal da força (positiva para a direita).
  • F_y é a componente vertical da força (positiva para cima).
    O sinal de M_D segue a regra de mão direita: positivo se tende a produzir rotação anti-horária.
  1. Decomposição da força:
    Se a força \mathbf{F} tem magnitude T e faz um ângulo \theta com a horizontal (medido no sentido anti-horário), então
F_x = T\cos\theta,\qquad F_y = T\sin\theta.
Substituindo em M_D:
M_D = x_P (T\sin\theta) - y_P (T\cos\theta) = T\big(x_P\sin\theta - y_P\cos\theta\big).
Isto é uma fórmula muito prática: com as coordenadas do ponto e o ângulo da força já se obtém o momento.
  1. Caso da distância perpendicular (caso especial simples):
    Se d for a distância perpendicular do ponto D à linha de ação da força, então o módulo do momento é
|M_D| = T\,d.
Isto decorre do fato de que o momento é força vezes braço perpendicular. Essa forma é muito usada em problemas quando d é dado como a menor distância entre o ponto e a linha de ação da força.
  1. Princípio da transmissibilidade e cuidado com decomposição:
  • Uma única força pode ser transladada ao longo de sua linha de ação sem alterar seu efeito externo (se a força inteira for movida ao longo da linha).
  • Porém, se você decompor uma força em componentes horizontal e vertical e depois mover cada componente para outro ponto diferente (por exemplo aplicar as componentes em E), o conjunto das componentes terá, em geral, um efeito diferente (aparece um momento adicional, um casal) — portanto é crucial usar consistentemente o vetor força original com a posição correta, ou então somar os momentos de cada componente com as posições onde elas são aplicadas.

Passo 4

Aplicando as fórmulas ao problema 3.9 (modo geral, preparado para usar quando a figura estiver disponível).
Seja T=1140\\ \mathrm{N}. Denote por \theta o ângulo que a tração BC faz com a horizontal (ângulo conhecido se tivermos a figura). Denote por \mathbf{r}_{D\to C}=(x_C,y_C) e por \mathbf{r}_{D\to E}=(x_E,y_E) as coordenadas dos pontos C e E medidas a partir de D.
(a) Momento em relação a D da força aplicada em C (usando componentes aplicadas em C):
F_x = T\cos\theta,\qquad F_y = T\sin\theta,
M_{D}^{(a)} = x_C F_y - y_C F_x = T\big(x_C\sin\theta - y_C\cos\theta\big).
Isto é a expressão geral. Para obter um número é preciso conhecer x_C,y_C,\theta (ou, alternativamente, conhecer a distância perpendicular d entre D e a linha de ação da força; se d for esse valor então |M_D|=T d).
(b) Momento em relação a D dos componentes horizontal/vertical aplicados em E:
  • Se as componentes horizontais e verticais forem aplicadas em E, o momento resultante é a soma dos momentos dessas componentes:
M_{D}^{(b)} = x_E F_y - y_E F_x = T\big(x_E\sin\theta - y_E\cos\theta\big).
Novamente, é necessário conhecer x_E,y_E,\theta para obter valor numérico. Observe que, em geral, M_{D}^{(b)}\neq M_{D}^{(a)} porque x_E,y_E podem ser diferentes de x_C,y_C. Se, por outro lado, E for um ponto qualquer sobre a mesma linha de ação da força original (ou seja, E está sobre a linha de ação de BC), então mover a força inteira para E não altera o momento total: neste caso o momento do vetor força inteiro é T\cdot d (com d distância perpendicular) e é o mesmo seja aplicado em C ou em E. A diferença surge quando se decompõe a força e aplica cada componente em um ponto distinto.
Exemplo simbólico rápido: se a força cruza o ponto cujas coordenadas relativas são (x_P,y_P), o momento é M_D=T(x_P\sin\theta-y_P\cos\theta). Quando se conhecem x_P,y_P,\theta é só substituir e calcular.

Passo 5

Aplicações numéricas possíveis com os dados que temos (assumindo interpretações razoáveis).
  1. Caso especial (muito comum em exercícios): se d fornecido for a distância perpendicular entre D e a linha de ação da tração em BC, então para 3.9 a magnitude do momento é
|M_D|=T\cdot d = 1140\cdot 1{,}9 = 2166\\ \mathrm{N\cdot m}.
Isto dá o módulo do momento causado pela tração; o sinal (positivo/negativo) depende do sentido da tração em relação a D (rotação horário ou anti-horário).
  1. Para 3.10, o enunciado pede a tração necessária para produzir M_{\text{req}}=960\\ \mathrm{N\cdot m} quando d=2{,}8\\ \mathrm{m}. Se d for, como acima, a distância perpendicular entre D e a linha de ação da tração, então
T = \frac{M_{\text{req}}}{d} = \frac{960}{2{,}8}.
Faço a conta:
\frac{960}{2{,}8} = \frac{9600}{28}=342{,}857142\ldots
Arredondando a três algarismos significativos:
T \approx 343\\ \mathrm{N}.
Se essa interpretação de d como distância perpendicular estiver correta, então T\approx343\\ \mathrm{N} é a resposta pedida para 3.10. Se d significar outra coisa na figura (por exemplo um deslocamento na horizontal ou vertical, ou um comprimento de cabo, etc.), então a fórmula muda e seria necessário usar as coordenadas/ângulos da figura.

Passo 6

Resumo prático de como proceder quando tiver a figura (passos para aplicar na prova, em ordem, como um checklist):
  1. Identificar o ponto D (centro de momento) e o ponto de aplicação da força (por ex. C).
  2. Escolher um sistema de coordenadas com origem em D. Ler da figura x_P e y_P (coord. de C ou E relativas a D).
  3. Ler o ângulo \theta que a força faz com a horizontal (ou obter F_x,F_y diretamente).
  4. Calcular F_x=T\cos\theta e F_y=T\sin\theta.
  5. Aplicar M_D = x_P F_y - y_P F_x (prestar atenção ao sinal do resultado).
  6. Se só for dada a distância perpendicular d da linha de ação ao ponto D, usar M_D = T d para o módulo do momento.
  7. Para decomposição aplicada em outro ponto, repetir os passos com as coordenadas do outro ponto.
Dica final de ânimo: respira fundo — a parte típica que mais confunde é só traduzir a figura em coordenadas e escolher corretamente o sinal. Uma vez com x_P,y_P,\theta na mão, o resto é cálculo direto.

Resposta

3.9 (a) Não é possível determinar numericamente sem a figura (faltam as coordenadas/ângulos de C e E). Expressão geral: M_{D}=T\big(x_C\sin\theta-y_C\cos\theta\big). Se d for a distância perpendicular da linha de ação a D, então |M_D|=1140\cdot1{,}9=2166\\ \mathrm{N\cdot m}.
3.9 (b) Não é possível determinar numericamente sem a figura (faltam as coordenadas/ângulos). Expressão geral: M_{D}=T\big(x_E\sin\theta-y_E\cos\theta\big). (Se E estiver sobre a linha de ação e d for a distância perpendicular, o módulo é 2166\\ \mathrm{N\cdot m}.)
3.10 T=\dfrac{960}{2{,}8}=342{,}857\ldots\\ \mathrm{N}\approx343\\ \mathrm{N} (pressupondo que d é a distância perpendicular entre D e a linha de ação da tração).

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