3.9 Um guincho
é usado para endireitar um mourão. Sabendo que a tração no cabo
é 1.140 N e o comprimento
é
, determine o momento em relação a
da força exercida pelo cabo em
decompondo tal força no componente horizontal e no vertical aplicados (a) no ponto
, (b) no ponto
.
3.10 Sabe-se que é necessária uma força com um momento de
em relação a
para endireitar o mourão
. Se
, determine a tração que deve ser desenvolvida no cabo do guincho
para se criar o momento necessário em relação ao ponto
.
3.10 Sabe-se que é necessária uma força com um momento de
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte.
Dados fornecidos:
- Tração no cabo
: (questão 3.9). - Comprimento (ou distância) informado em 3.9:
. - Para 3.10: momento requerido em relação a
é e .
Pedidos:
- Questão 3.9: determinar o momento em relação a
da força exercida pelo cabo em decompondo a força nos componentes horizontal e vertical aplicados - (a) no ponto
; - (b) no ponto
.
- (a) no ponto
- Questão 3.10: determinar a tração no cabo
necessária para criar o momento de em relação a , dado .
Observação importante: o enunciado menciona pontos
e um comprimento
, mas não foi enviada a figura nem as coordenadas/ângulos que relacionam esses pontos. Sem essa figura (ou sem coordenadas/ângulos explícitos) não estão todas as informações geométricas necessárias para calcular exatamente os momentos pedidos na 3.9.
Passo 2
Por que não é possível obter todas as respostas numéricas da 3.9 com os dados fornecidos aqui:
- Para calcular o momento em relação a
de uma força aplicada em (ou em ) precisamos da posição relativa desse ponto em relação a . Em prática: ou as coordenadas e relativas a ou a distância perpendicular (braço de alavanca) da linha de ação da força até , e/ou o ângulo que a força faz com os eixos. - A decomposição em componentes horizontal/vertical depende do ângulo da força; a contribuição de cada componente ao momento depende das coordenadas do ponto onde cada componente é aplicada.
- Portanto, sem a figura (ou dados equivalentes) não há como calcular numericamente os momentos pedindo em 3.9 (a) e (b).
No entanto: existe um caso especial simples que frequentemente aparece em problemas de livro — quando
é explicitamente a distância perpendicular entre o ponto
e a linha de ação da tração no cabo
. Nesse caso particular o momento em módulo é simplesmente
(sinalado de acordo com o sentido). Usarei essa observação mais adiante para dar um valor numérico para a parte que puder ser obtida sem a figura.
Passo 3
Conceitos e fórmulas essenciais (aula curta, passo a passo, sem pular etapas).
- Definição de momento (versão vetorial):
onde
é o vetor posição do ponto de aplicação
(por ex.
ou
) medido a partir de
, e
é a força aplicada naquele ponto. O produto vetorial dá um vetor momento cujo componente fora do plano (no caso 2D) é o escalar de interesse.
- Em 2 dimensões (plano
) a componente do momento perpendicular ao plano (o escalar) é
onde
e
. Explico cada símbolo:
-
é a coordenada horizontal do ponto medida a partir de . -
é a coordenada vertical do ponto medida a partir de . -
é a componente horizontal da força (positiva para a direita). -
é a componente vertical da força (positiva para cima).
O sinal desegue a regra de mão direita: positivo se tende a produzir rotação anti-horária.
- Decomposição da força:
Se a forçatem magnitude e faz um ângulo com a horizontal (medido no sentido anti-horário), então
Substituindo em
:
Isto é uma fórmula muito prática: com as coordenadas do ponto e o ângulo da força já se obtém o momento.
- Caso da distância perpendicular (caso especial simples):
Sefor a distância perpendicular do ponto à linha de ação da força, então o módulo do momento é
Isto decorre do fato de que o momento é força vezes braço perpendicular. Essa forma é muito usada em problemas quando
é dado como a menor distância entre o ponto e a linha de ação da força.
- Princípio da transmissibilidade e cuidado com decomposição:
- Uma única força pode ser transladada ao longo de sua linha de ação sem alterar seu efeito externo (se a força inteira for movida ao longo da linha).
- Porém, se você decompor uma força em componentes horizontal e vertical e depois mover cada componente para outro ponto diferente (por exemplo aplicar as componentes em
), o conjunto das componentes terá, em geral, um efeito diferente (aparece um momento adicional, um casal) — portanto é crucial usar consistentemente o vetor força original com a posição correta, ou então somar os momentos de cada componente com as posições onde elas são aplicadas.
Passo 4
Aplicando as fórmulas ao problema 3.9 (modo geral, preparado para usar quando a figura estiver disponível).
Seja
. Denote por
o ângulo que a tração
faz com a horizontal (ângulo conhecido se tivermos a figura). Denote por
e por
as coordenadas dos pontos
e
medidas a partir de
.
(a) Momento em relação a
da força aplicada em
(usando componentes aplicadas em
):
Isto é a expressão geral. Para obter um número é preciso conhecer
(ou, alternativamente, conhecer a distância perpendicular
entre
e a linha de ação da força; se
for esse valor então
).
(b) Momento em relação a
dos componentes horizontal/vertical aplicados em
:
- Se as componentes horizontais e verticais forem aplicadas em
, o momento resultante é a soma dos momentos dessas componentes:
Novamente, é necessário conhecer
para obter valor numérico. Observe que, em geral,
porque
podem ser diferentes de
. Se, por outro lado,
for um ponto qualquer sobre a mesma linha de ação da força original (ou seja,
está sobre a linha de ação de
), então mover a força inteira para
não altera o momento total: neste caso o momento do vetor força inteiro é
(com
distância perpendicular) e é o mesmo seja aplicado em
ou em
. A diferença surge quando se decompõe a força e aplica cada componente em um ponto distinto.
Exemplo simbólico rápido: se a força cruza o ponto cujas coordenadas relativas são
, o momento é
. Quando se conhecem
é só substituir e calcular.
Passo 5
Aplicações numéricas possíveis com os dados que temos (assumindo interpretações razoáveis).
- Caso especial (muito comum em exercícios): se
fornecido for a distância perpendicular entre e a linha de ação da tração em , então para 3.9 a magnitude do momento é
Isto dá o módulo do momento causado pela tração; o sinal (positivo/negativo) depende do sentido da tração em relação a
(rotação horário ou anti-horário).
- Para 3.10, o enunciado pede a tração necessária para produzir
quando . Se for, como acima, a distância perpendicular entre e a linha de ação da tração, então
Faço a conta:
Arredondando a três algarismos significativos:
Se essa interpretação de
como distância perpendicular estiver correta, então
é a resposta pedida para 3.10. Se
significar outra coisa na figura (por exemplo um deslocamento na horizontal ou vertical, ou um comprimento de cabo, etc.), então a fórmula muda e seria necessário usar as coordenadas/ângulos da figura.
Passo 6
Resumo prático de como proceder quando tiver a figura (passos para aplicar na prova, em ordem, como um checklist):
- Identificar o ponto
(centro de momento) e o ponto de aplicação da força (por ex. ). - Escolher um sistema de coordenadas com origem em
. Ler da figura e (coord. de ou relativas a ). - Ler o ângulo
que a força faz com a horizontal (ou obter diretamente). - Calcular
e . - Aplicar
(prestar atenção ao sinal do resultado). - Se só for dada a distância perpendicular
da linha de ação ao ponto , usar para o módulo do momento. - Para decomposição aplicada em outro ponto, repetir os passos com as coordenadas do outro ponto.
Dica final de ânimo: respira fundo — a parte típica que mais confunde é só traduzir a figura em coordenadas e escolher corretamente o sinal. Uma vez com
na mão, o resto é cálculo direto.
Resposta
3.9 (a) Não é possível determinar numericamente sem a figura (faltam as coordenadas/ângulos de
e
). Expressão geral:
. Se
for a distância perpendicular da linha de ação a
, então
.
3.9 (b) Não é possível determinar numericamente sem a figura (faltam as coordenadas/ângulos). Expressão geral:
. (Se
estiver sobre a linha de ação e
for a distância perpendicular, o módulo é
.)
3.10
(pressupondo que
é a distância perpendicular entre
e a linha de ação da tração).