Uma força atua sobre uma partícula de massa 3,10 \mathrm{~kg}, cuja posição ao longo do eixo x varia com o tempo de acordo com a expressão:
x(t)=(2,8 m / s) t-\left(3,5 m / s^{2}\right) t^{2}+\left(0,90 m / s^{3}\right) t^{3} .
(a) Determine o trabalho realizado por essa força durante os primeiros 4,5 \mathrm{~s} de movimento.
(b) Determine a potência instantânea (taxa instantânea de realização de trabalho) no instante \mathrm{t}=3,5 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula ao longo do eixo x em função do tempo:
x(t)=(2{,}8\\ \mathrm{m/s})\,t-(3{,}5\\ \mathrm{m/s^{2}})\,t^{2}+(0{,}90\\ \mathrm{m/s^{3}})\,t^{3}.
A massa da partícula é m=3{,}10\\ \mathrm{kg}.
As perguntas são:
(a) Determinar o trabalho realizado pela força durante os primeiros 4{,}5\\ \mathrm{s} de movimento (ou seja, de t=0 até t=4{,}5\\ \mathrm{s}).
(b) Determinar a potência instantânea no instante t=3{,}5\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Estratégia e conceitos úteis (explicados de forma didática).
  • Trabalho resultante sobre uma partícula e energia cinética: quando uma força resultante age numa partícula de massa m, o trabalho total realizado pela força entre duas posições do movimento é igual à variação da energia cinética da partícula. Isso é o Teorema Trabalho-Energia Cinética:
W_{1\to2}=\Delta K=\tfrac{1}{2}m\bigl(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\bigr).
Aqui v_1 e v_2 são as velocidades nos instantes inicial e final. Esse teorema é muito prático quando a força não é fornecida explicitamente, porque basta conhecer a velocidade nos instantes de interesse.
  • Potência instantânea: potência é a taxa de realização de trabalho. A potência instantânea P(t) dada por uma força \vec{F} que age sobre uma partícula que se move com velocidade \vec{v} é
P(t)=\vec{F}\cdot\vec{v}.
No caso unidimensional (eixo x) e com \vec{F}=m\vec{a} e \vec{v} na mesma direção, isso vira
P(t)=F(t)\,v(t)=m\,a(t)\,v(t).
Outra forma de ver isso é P=\dfrac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} e como \mathrm{d}W=\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{s}=\vec{F}\cdot\vec{v}\,\mathrm{d}t, divide por \mathrm{d}t para obter P=\vec{F}\cdot\vec{v}.
Vou usar essas duas fórmulas: para (a) usar o teorema trabalho-energia; para (b) usar P=m a v. Mas antes preciso das funções velocidade v(t) e aceleração a(t), obtidas por derivação de x(t).

Passo 3

Calcular a velocidade v(t) fazendo v(t)=\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}.
Derivando termo a termo (regra: \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(t^n)=n\,t^{n-1}):
x(t)=(2{,}8)\,t-(3{,}5)\,t^{2}+(0{,}90)\,t^{3}
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v(t)=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2{,}8-2\cdot3{,}5\,t+3\cdot0{,}90\,t^{2}.
Agora simplifico os coeficientes:
v(t)=2{,}8-7{,}0\,t+2{,}7\,t^{2}\qquad(\mathrm{m/s}).

Passo 4

Calcular a aceleração a(t)=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}, que será útil para a potência.
Derivando v(t):
a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-7{,}0+2\cdot2{,}7\,t=-7{,}0+5{,}4\,t\qquad(\mathrm{m/s^{2}}).

Passo 5

Resolver (a) — trabalho durante os primeiros 4{,}5\\ \mathrm{s} usando o teorema trabalho-energia.
Precisamos de v(0) e v(4{,}5).
Calculo v(0):
v(0)=2{,}8-7{,}0\cdot0+2{,}7\cdot0^{2}=2{,}8\\ \mathrm{m/s}.
Calculo v(4{,}5). Substituo t=4{,}5 em v(t):
v(4{,}5)=2{,}8-7{,}0\cdot4{,}5+2{,}7\cdot(4{,}5)^{2}.
Faço as contas passo a passo:
7{,}0\cdot4{,}5=31{,}5,
(4{,}5)^{2}=20{,}25,
2{,}7\cdot20{,}25=54{,}675.
Portanto
v(4{,}5)=2{,}8-31{,}5+54{,}675=25{,}975\\ \mathrm{m/s}.
Agora aplico o teorema trabalho-energia:
W_{0\to4{,}5}=\tfrac{1}{2}m\bigl(v(4{,}5)^{2}-v(0)^{2}\bigr).
Calculo os quadrados:
v(0)^{2}=(2{,}8)^{2}=7{,}84,
v(4{,}5)^{2}=(25{,}975)^{2}=674{,}700625.
Diferença:
v(4{,}5)^{2}-v(0)^{2}=674{,}700625-7{,}84=666{,}860625.
Multiplico por \tfrac{1}{2}m=\tfrac{1}{2}\cdot3{,}10=1{,}55:
W_{0\to4{,}5}=1{,}55\cdot666{,}860625=1033{,}63396875\\ \mathrm{J}.
Arredondando de forma razoável (os dados têm três algarismos significativos), posso apresentar
W_{0\to4{,}5}\approx1{,}03\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Resolver (b) — potência instantânea em t=3{,}5\\ \mathrm{s}.
Usarei a fórmula
P(t)=m\,a(t)\,v(t).
Já temos as expressões:
v(t)=2{,}8-7{,}0\,t+2{,}7\,t^{2}, \qquad a(t)=-7{,}0+5{,}4\,t.
Calculamos v(3{,}5) e a(3{,}5).
Para t=3{,}5:
7{,}0\cdot3{,}5=24{,}5, \qquad (3{,}5)^{2}=12{,}25, \qquad 2{,}7\cdot12{,}25=33{,}075.
Então
v(3{,}5)=2{,}8-24{,}5+33{,}075=11{,}375\\ \mathrm{m/s}.
Para a aceleração:
a(3{,}5)=-7{,}0+5{,}4\cdot3{,}5=-7{,}0+18{,}9=11{,}9\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Agora a potência:
P(3{,}5)=m\,a(3{,}5)\,v(3{,}5)=3{,}10\cdot11{,}9\cdot11{,}375.
Faço as multiplicações passo a passo:
11{,}9\cdot11{,}375=135{,}3625,
3{,}10\cdot135{,}3625=419{,}62375\\ \mathrm{W}.
Arredondando adequadamente:
P(3{,}5)\approx4,20\times10^{2}\\ \mathrm{W}\quad\text{(ou }419{,}6\\ \mathrm{W}\text{)}.

Resposta

(a) W_{0\to4{,}5}\approx1{,}03\times10^{3}\\ \mathrm{J}
(b) P(3{,}5)\approx4,20\times10^{2}\\ \mathrm{W}

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