Uma força atua sobre uma partícula de massa
, cuja posição ao longo do eixo x varia com o tempo de acordo com a expressão:
(a) Determine o trabalho realizado por essa força durante os primeiros
de movimento.
(b) Determine a potência instantânea (taxa instantânea de realização de trabalho) no instante
.
(b) Determine a potência instantânea (taxa instantânea de realização de trabalho) no instante
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula ao longo do eixo
em função do tempo:
A massa da partícula é
.
As perguntas são:
(a) Determinar o trabalho realizado pela força durante os primeiros de movimento (ou seja, de
até
).
(b) Determinar a potência instantânea no instante .
(a) Determinar o trabalho realizado pela força durante os primeiros
(b) Determinar a potência instantânea no instante
Passo 2
Estratégia e conceitos úteis (explicados de forma didática).
- Trabalho resultante sobre uma partícula e energia cinética: quando uma força resultante age numa partícula de massa
, o trabalho total realizado pela força entre duas posições do movimento é igual à variação da energia cinética da partícula. Isso é o Teorema Trabalho-Energia Cinética:
Aqui
e
são as velocidades nos instantes inicial e final. Esse teorema é muito prático quando a força não é fornecida explicitamente, porque basta conhecer a velocidade nos instantes de interesse.
- Potência instantânea: potência é a taxa de realização de trabalho. A potência instantânea
dada por uma força que age sobre uma partícula que se move com velocidade é
No caso unidimensional (eixo
) e com
e
na mesma direção, isso vira
Outra forma de ver isso é
e como
, divide por
para obter
.
Vou usar essas duas fórmulas: para (a) usar o teorema trabalho-energia; para (b) usar
. Mas antes preciso das funções velocidade
e aceleração
, obtidas por derivação de
.
Passo 3
Calcular a velocidade
fazendo
.
Derivando termo a termo (regra:
):
logo
Agora simplifico os coeficientes:
Passo 4
Calcular a aceleração
, que será útil para a potência.
Derivando :
Derivando
Passo 5
Resolver (a) — trabalho durante os primeiros
usando o teorema trabalho-energia.
Precisamos de
e
.
Calculo
:
Calculo
. Substituo
em
:
Faço as contas passo a passo:
Portanto
Agora aplico o teorema trabalho-energia:
Calculo os quadrados:
Diferença:
Multiplico por
:
Arredondando de forma razoável (os dados têm três algarismos significativos), posso apresentar
Passo 6
Resolver (b) — potência instantânea em
.
Usarei a fórmula
Já temos as expressões:
Calculamos
e
.
Para
:
Então
Para a aceleração:
Agora a potência:
Faço as multiplicações passo a passo:
Arredondando adequadamente:
Resposta
(a)
(b)