A força exercida por um dispositivo especial de compressão é dada por:
, para
, onde
é a compressão máxima possível e
é uma constante.
(a) A força necessária para comprimir o dispositivo de uma distância d é máxima quando:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(b) O trabalho necessário para comprimir o dispositivo de uma distância d é máximo quando:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(a) A força necessária para comprimir o dispositivo de uma distância d é máxima quando:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(b) O trabalho necessário para comprimir o dispositivo de uma distância d é máximo quando:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá a força como função da compressão
:
onde
é a compressão máxima e
é uma constante. As perguntas são:
(a) Para qual valor de a força necessária para comprimir até
é máxima? (as alternativas são
,
,
,
,
).
(b) Para qual valor de o trabalho necessário para comprimir até
é máximo? (mesmas alternativas).
(a) Para qual valor de
(b) Para qual valor de
Passo 2
Entendendo a expressão de força e o que maximizar. Observação importante: para
temos
Se
, então
nesse intervalo (a força dada é negativa porque está na direção oposta ao deslocamento). O que normalmente se pede em “força necessária” é a intensidade (o módulo) da força resistente. Portanto vamos maximizar o módulo
Isto transforma o problema (a) em maximizar a função
Passo 3
Maximizando
por álgebra (completar quadrado) — é uma parábola:
Em forma deslocada:
Essa expressão é uma parábola voltada para baixo, portanto atinge o máximo quando o quadrado se anula, isto é em
Logo a intensidade da força é máxima em
. (Resposta da alternativa: (D).)
Passo 4
Definindo o trabalho para comprimir até
. Conceito: o trabalho necessário para deslocar de
até
contra a força resistente é
. Assim o trabalho total para comprimir de
até
é
Vamos calcular essa integral passo a passo:
Avaliação no limite dá
Passo 5
Maximizando
para
. Diferenciamos em relação a
:
As raízes de
são
e
. Para
temos
(pois
,
e
), ou seja,
é estritamente crescente no intervalo
. Portanto o máximo de
em
ocorre no extremo
. Assim o trabalho necessário é máximo em
. (Resposta da alternativa: (E).)
Resposta
(a) (D)
(b) (E)
(b) (E)