A força exercida por um dispositivo especial de compressão é dada por: F x(x)=k \cdot x \cdot(x-L), para 0<=\mathrm{x}<=\mathrm{L}, onde L é a compressão máxima possível e k é uma constante.
(a) A força necessária para comprimir o dispositivo de uma distância d é máxima quando:
(A) \mathrm{d}=0
(B) d=L / 4
(C) \mathrm{d}=\mathrm{L} / 3
(D) d=L / 2
(E) d=L
(b) O trabalho necessário para comprimir o dispositivo de uma distância d é máximo quando:
(A) d=0
(B) d=L / 4
(C) d=L / 3
(D) \mathrm{d}=\mathrm{L} / 2
(E) d=L

Passo 1

O enunciado dá a força como função da compressão x:
F_x(x)=k\cdot x\cdot(x-L),\qquad 0\le x\le L,
onde L é a compressão máxima e k é uma constante. As perguntas são:
(a) Para qual valor de d a força necessária para comprimir até d é máxima? (as alternativas são d=0, d=L/4, d=L/3, d=L/2, d=L).
(b) Para qual valor de d o trabalho necessário para comprimir até d é máximo? (mesmas alternativas).

Passo 2

Entendendo a expressão de força e o que maximizar. Observação importante: para 0\le x\le L temos
F_x(x)=k(x^2-Lx)= -k\big(Lx-x^2\big).
Se k>0, então F_x(x)\le 0 nesse intervalo (a força dada é negativa porque está na direção oposta ao deslocamento). O que normalmente se pede em “força necessária” é a intensidade (o módulo) da força resistente. Portanto vamos maximizar o módulo
|F_x(x)| = k\big(Lx-x^2\big)=k\,x(L-x).
Isto transforma o problema (a) em maximizar a função
f(x)=k\,x(L-x),\qquad 0\le x\le L.

Passo 3

Maximizando f(x)=k\,x(L-x) por álgebra (completar quadrado) — é uma parábola:
f(x)=k\big(Lx-x^2\big)= -k\left(x^2-Lx\right)=-k\left(x^2-Lx+\frac{L^2}{4}\right)+k\frac{L^2}{4}.
Em forma deslocada:
f(x) = -k\left(x-\frac{L}{2}\right)^2 + k\frac{L^2}{4}.
Essa expressão é uma parábola voltada para baixo, portanto atinge o máximo quando o quadrado se anula, isto é em
x=\frac{L}{2}.
Logo a intensidade da força é máxima em d=\dfrac{L}{2}. (Resposta da alternativa: (D).)

Passo 4

Definindo o trabalho para comprimir até d. Conceito: o trabalho necessário para deslocar de x até x+dx contra a força resistente é dW = |F_x(x)|\,dx. Assim o trabalho total para comprimir de 0 até d é
W(d)=\int_{0}^{d} |F_x(x)|\,dx = \int_{0}^{d} k\,x(L-x)\,dx.
Vamos calcular essa integral passo a passo:
W(d)=k\int_{0}^{d} \big(Lx-x^2\big)\,dx = k\left[\frac{Lx^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{d}.
Avaliação no limite dá
W(d)=k\left(\frac{L d^2}{2}-\frac{d^3}{3}\right).

Passo 5

Maximizando W(d)=k\left(\dfrac{L d^2}{2}-\dfrac{d^3}{3}\right) para 0\le d\le L. Diferenciamos em relação a d:
W'(d)=k\left(Ld-d^2\right)=k\,d(L-d).
As raízes de W'(d)=0 são d=0 e d=L. Para 0<d<L temos W'(d)>0 (pois k>0, d>0 e L-d>0), ou seja, W(d) é estritamente crescente no intervalo (0,L). Portanto o máximo de W em [0,L] ocorre no extremo d=L. Assim o trabalho necessário é máximo em d=L. (Resposta da alternativa: (E).)

Resposta

(a) (D) d=\dfrac{L}{2}
(b) (E) d=L

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