1. Uma força constante \mathbf{F}=3 \mathbf{i}+5 \mathbf{j}+10 \mathbf{k} move um objeto ao longo de um segmento de reta de (1,0,2) a (5,3,8). Determine o trabalho realizado se a distância é medida em metros e a força em newtons.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A força constante \mathbf{F}=3\mathbf{i}+5\mathbf{j}+10\mathbf{k} (em newtons).
  • O movimento acontece ao longo do segmento de reta do ponto inicial \mathbf{r}_A=(1,0,2) ao ponto final \mathbf{r}_B=(5,3,8) (as coordenadas estão em metros).
    O que se pede:
  • Determinar o trabalho realizado pela força quando o objeto vai de \mathbf{r}_A até \mathbf{r}_B.

Passo 2

Fórmula que vamos usar e por quê. Para uma força constante a definição de trabalho por uma trajetória \mathbf{r}(t) é
W=\int_{\text{trajetória}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.ó
Como \mathbf{F} é constante, a integral se simplifica para o produto escalar entre \mathbf{F} e o deslocamento total \Delta\mathbf{r}=\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A:
W=\mathbf{F}\cdot\Delta\mathbf{r}.
Explicando o produto escalar: para dois vetores em \mathbb{R}^3,
\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z),\qquad \mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z),
o produto escalar é
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
Aqui W é o trabalho (em joules), \mathbf{F} tem componentes em newtons e \Delta\mathbf{r} em metros, então W terá unidades de newton·metro, isto é, joule.

Passo 3

Calcular o vetor deslocamento \Delta\mathbf{r}:
\Delta\mathbf{r}=\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A=(5-1,\;3-0,\;8-2)=(4,3,6).

Passo 4

Calcular o produto escalar \mathbf{F}\cdot\Delta\mathbf{r}. Escrevendo as componentes:
\mathbf{F}=(3,5,10),\qquad \Delta\mathbf{r}=(4,3,6).
Aplicando a fórmula do produto escalar:
W=\mathbf{F}\cdot\Delta\mathbf{r}=3\cdot4 + 5\cdot3 + 10\cdot6.
Agora calculando cada termo:
3\cdot4=12,\qquad 5\cdot3=15,\qquad 10\cdot6=60.
Somando:
W=12+15+60=87.
Unidades: W está em newton·metro, portanto W=87\\ \text{J} (joules).

Passo 5

Verificação alternativa rápida (mostrar consistência): parametrizando a reta por \mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_A+t\Delta\mathbf{r}, t\in[0,1], tem-se d\mathbf{r}=\Delta\mathbf{r}\,dt e
W=\int_0^1 \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_0^1 \mathbf{F}\cdot\Delta\mathbf{r}\,dt=(\mathbf{F}\cdot\Delta\mathbf{r})\int_0^1 dt=\mathbf{F}\cdot\Delta\mathbf{r},
o que bate com o cálculo acima.

Resposta

87\\ \text{J}

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