A força de corte e a força de penetração foram medidas em uma operação de corte ortogonal como 300 lbf e 291 lbf , respectivamente. O ângulo de saída = 10^{\circ}, a largura de corte =0,2 \mathrm{in}, a espessura do cavaco indeformado =0,015 \mathrm{in} \mathrm{e} a razão de espessura do cavaco =0,4. Determine
tensão de escoamento por cisalhamento do material usinado

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • força de corte: F_c = 300\\ \mathrm{lbf},
  • força de penetração (força de empuxo/thrust): F_t = 291\\ \mathrm{lbf},
  • ângulo de saída (interpreto aqui como o ângulo de corte / ângulo de folga da ferramenta) \alpha = 10^\circ,
  • largura de corte: b = 0,2\\ \mathrm{in},
  • espessura do cavaco indeformado: t_1 = 0,015\\ \mathrm{in},
  • razão de espessura do cavaco: r = 0,4. (Aqui usamos a definição usual r = \dfrac{t_1}{t_2}, onde t_2 é a espessura do cavaco deformado.)
O que pede o enunciado:
  • determinar a tensão de escoamento por cisalhamento do material usinado (ou seja, a tensão de cisalhamento atuante no plano de cisalhamento durante o corte).

Passo 2

Encontrar o ângulo do plano de cisalhamento \varphi a partir da razão de espessuras r.
Teoria / fórmula usada: na usinagem ortogonal, a relação geométrica entre a razão de espessura do cavaco r, o ângulo de cisalhamento \varphi e o ângulo de folga (rake) \alpha é dada pela fórmula de Merchant
r = \frac{\cos\varphi}{\sin(\varphi-\alpha)}.
Aqui \varphi é o ângulo que o plano de cisalhamento faz com a direção de corte (horizontal) e \alpha é o rake angle. Vou manipular essa fórmula para isolar \varphi.
Desenvolvimento algébrico (passo-a-passo):
r\sin(\varphi-\alpha)=\cos\varphi.
Expandindo o seno:
r(\sin\varphi\cos\alpha-\cos\varphi\sin\alpha)=\cos\varphi.
Agrupando termos com \sin\varphi e \cos\varphi:
r\sin\varphi\cos\alpha = \cos\varphi\,(1 + r\sin\alpha).
Dividindo por \cos\varphi (assumindo \cos\varphi\neq0) e isolando \tan\varphi:
\tan\varphi = \frac{1 + r\sin\alpha}{r\cos\alpha}.
Agora aplico os valores numéricos. Primeiro seno e cosseno de \alpha=10^\circ:
\sin\alpha \approx 0,173648,\qquad \cos\alpha \approx 0,984808.
Calculo do denominador e numerador:
1 + r\sin\alpha = 1 + 0,4\cdot0,173648 = 1,069459,
r\cos\alpha = 0,4\cdot0,984808 = 0,393923.
Logo
\tan\varphi = \frac{1,069459}{0,393923} \approx 2,71512.
Finalmente o ângulo \varphi é
\varphi = \arctan(2,71512) \approx 69,6^\circ.

Passo 3

Calcular a força de cisalhamento no plano de cisalhamento F_s.
Teoria / fórmula usada: a resultante das forças na ferramenta pode ser decomposta nas componentes paralela e normal ao plano de cisalhamento. Pela decomposição vetorial vale
F_s = F_c\cos\varphi + F_t\sin\varphi,
onde F_c e F_t são as componentes horizontal e vertical conhecidas, e \varphi é o ângulo do plano de cisalhamento obtido.
Explicação rápida do porquê: a projeção de F_c ao longo do plano inclinado dá F_c\cos\varphi; a projeção de F_t ao longo do mesmo plano dá F_t\sin\varphi; as duas projeções somam porque têm o mesmo sentido ao longo do plano.
Agora os valores numéricos. Primeiro seno e cosseno de \varphi\approx69,6^\circ:
\cos\varphi \approx 0,3456,\qquad \sin\varphi \approx 0,9384.
Aplicando em F_s:
F_s = 300\cdot0,3456 + 291\cdot0,9384 \approx 103,68 + 273,03 \approx 376,71\\ \mathrm{lbf}.

Passo 4

Calcular a área do plano de cisalhamento A_s.
Teoria / fórmula usada: o comprimento do plano de cisalhamento é \dfrac{t_1}{\sin\varphi} (triângulo formado por espessura indeformada). Multiplicando esse comprimento pela largura de corte b obtém-se a área:
A_s = b\,\frac{t_1}{\sin\varphi}.
Explicação: o plano de cisalhamento tem comprimento igual à projeção da espessura indeformada sobre a normal ao plano, daí t_1/\sin\varphi; multiplicando pela largura b obtém-se a área real sobre a qual atua o esforço de cisalhamento.
Numericamente:
b\,t_1 = 0,2\cdot0,015 = 0,003\\ \mathrm{in}^2,
\sin\varphi \approx 0,9384,
A_s = \frac{0,003}{0,9384} \approx 0,0031986\\ \mathrm{in}^2.

Passo 5

Calcular a tensão de cisalhamento média \tau (tensão de escoamento por cisalhamento) como razão entre a força de cisalhamento e a área do plano de cisalhamento:
\tau = \frac{F_s}{A_s}.
Substituindo:
\tau \approx \frac{376,71\\ \mathrm{lbf}}{0,0031986\\ \mathrm{in}^2} \approx 117789\\ \mathrm{psi}.
Converter para unidades do Sistema Internacional (aproximação):
1\\ \mathrm{psi}\approx0,006895\\ \mathrm{MPa} \quad\Rightarrow\quad \tau \approx 117789\cdot0,006895\\ \mathrm{MPa}\approx 811,99\\ \mathrm{MPa}.
Observação rápida (empática): deu um valor alto (da ordem de centenas de MPa) — é comum que, dependendo do material e das condições de corte, a tensão de cisalhamento ativa no plano seja bem maior que as tensões de escoamento convencionais medidas em ensaios uni-axiais, porque aqui temos severa deformação plástica localizada no plano de cisalhamento.

Resposta

\tau \approx 1,18\times10^{5}\\ \mathrm{psi} \approx 8,12\times10^{2}\\ \mathrm{MPa}

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