15.7 A tensão de escoamento por cisalhamento de um determinado material = 50.000 \mathrm{lbf} / \mathrm{in} 2. Uma operação de corte ortogonal é realizada utilizando uma ferramenta com um ângulo de saída =20^{\circ} nas seguintes condições de usinagem: velocidade de corte =100 \mathrm{ft} / \mathrm{min}, espessura do cavaco indeformado =0,015 \mathrm{in} \mathrm{e} largura de corte =0,150 \mathrm{in}. A razão de espessura do cavaco resultante =0,50.
Determine (a) o ângulo do plano de cisalhamento, (b) a força de cisalhamento, (c) a força de corte e a força de penetração e (d) a força de atrito.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados (pegos do enunciado):
  • tensão de escoamento por cisalhamento: \tau = 50\,000\\ \mathrm{lbf/in^2}.
  • ângulo de saída (ângulo de folga / rake angle): \alpha = 20^\circ.
  • velocidade de corte: 100\\ \mathrm{ft/min} (não usada nos cálculos estáticos de forças).
  • espessura do cavaco indeformado: t_1 = 0{,}015\\ \mathrm{in}.
  • largura de corte: b = 0{,}150\\ \mathrm{in}.
  • razão de espessura do cavaco resultante: r = 0{,}50.
O enunciado pede:
(a) o ângulo do plano de cisalhamento \varphi;
(b) a força de cisalhamento F_s;
(c) a força de corte F_c e a força de penetração (ou força de avanço / thrust) F_p;
(d) a força de atrito entre cavaco e face da ferramenta F.
Observação importante (interpretação usada): aqui vou usar a definição usual de razão de corte r = \dfrac{t_1}{t_2}. Assim r=0{,}50 significa que o cavaco após deformação tem espessura t_2 = t_1 / r. Esta é a convenção comum em problemas de usinagem e faz sentido físico (t2 > t1).

Passo 2

Calcular a espessura do cavaco deformado t_2.
A definição que usei é
r=\dfrac{t_1}{t_2}.
Logo
t_2=\dfrac{t_1}{r}.
Substituindo os valores:
t_2=\dfrac{0{,}015}{0{,}50}=0{,}030\\ \mathrm{in}.

Passo 3

Determinar o ângulo do plano de cisalhamento \varphi. Vou explicar a relação geométrica usada.
Geometria do corte ortogonal (rake angle \alpha, plano de cisalhamento com ângulo \varphi, espessuras t_1 e t_2):
  • Seja l o comprimento do plano de cisalhamento. Pela projeção vertical (ou perpendicular ao plano de corte), tem-se
t_1 = l\sin\varphi.
  • Projetando o mesmo comprimento na direção perpendicular à face da ferramenta (relacionado ao cavaco deformado),
t_2 = l\cos(\varphi-\alpha).
Dividindo as duas relações dá a fórmula clássica da razão de espessuras:
r=\dfrac{t_1}{t_2}=\dfrac{\sin\varphi}{\cos(\varphi-\alpha)}.
Agora isolamos \varphi. A forma conveniente para cálculo é transformar em uma fórmula para \tan\varphi. Partindo de
r\cos(\varphi-\alpha)=\sin\varphi,
expandindo \cos(\varphi-\alpha)=\cos\varphi\cos\alpha+\sin\varphi\sin\alpha obtemos
r(\cos\varphi\cos\alpha+\sin\varphi\sin\alpha)=\sin\varphi.
Agrupando termos em \sin\varphi e isolando \tan\varphi:
r\cos\varphi\cos\alpha = \sin\varphi(1-r\sin\alpha) \quad\Rightarrow\quad \tan\varphi=\dfrac{r\cos\alpha}{1-r\sin\alpha}.
Agora substituímos números (usar ângulo em graus nas funções trigonométricas):
r=0{,}50,\qquad \alpha=20^\circ.
Calculemos primeiro os senos e cossenos:
\cos20^\circ\approx 0{,}9396926,\qquad \sin20^\circ\approx 0{,}3420201.
Logo
\tan\varphi=\dfrac{0{,}50\times 0{,}9396926}{1-0{,}50\times 0{,}3420201} =\dfrac{0{,}4698463}{0{,}82898995}\approx 0{,}56685.
Então
\varphi=\arctan(0{,}56685)\approx 29{,}6^\circ.
(Resumo deste passo: \displaystyle \varphi\approx 29{,}6^\circ.)

Passo 4

Calcular a força de cisalhamento F_s.
Explicação física e fórmula:
  • A força de cisalhamento F_s atua ao longo do plano de cisalhamento; a tensão de escoamento por cisalhamento \tau é a intensidade de força por área desse plano.
  • A área do plano de cisalhamento é A_s = b\cdot l, com l o comprimento do plano. Da relação geométrica anterior:
l=\dfrac{t_1}{\sin\varphi}.
Portanto
A_s = b\cdot\dfrac{t_1}{\sin\varphi}.
  • A força de cisalhamento é
F_s=\tau A_s = \tau\,b\,\dfrac{t_1}{\sin\varphi}.
Agora os números:
b=0{,}150\\ \mathrm{in},\quad t_1=0{,}015\\ \mathrm{in},\quad \tau=50\,000\\ \mathrm{lbf/in^2},
e usamos \sin\varphi com \varphi\approx 29{,}6^\circ. Calculando \sin29{,}6^\circ\approx 0{,}4934.
Compute passo a passo:
A_s = 0{,}150\cdot\dfrac{0{,}015}{0{,}4934}=0{,}150\cdot 0{,}03041\approx 0{,}0045615\\ \mathrm{in^2}.
F_s = 50\,000\cdot 0{,}0045615\approx 228{,}1\\ \mathrm{lbf}.
Observação útil (verificação): nota-se que F_s\sin\varphi=\tau b t_1; numericamente 228{,}1\times 0{,}4934\approx112{,}5 e 50\,000\times(0{,}150\times0{,}015)=112{,}5\\ \mathrm{lbf}, coerente.

Passo 5

Calcular as forças de corte F_c e de penetração F_p.
Explicação e aproximação adotada:
  • Para transformar a força ao longo do plano de cisalhamento F_s em componentes horizontais e verticais (que correspondem a F_c e F_p), decompondo F_s diretamente nas direções de corte (horizontal) e penetração (vertical), temos (quando se toma apenas a força de cisalhamento como resultante principal)
F_c = F_s\cos\varphi,\qquad F_p = F_s\sin\varphi.
Esta forma surge da decomposição vetorial de F_s nas direções horizontal (corte) e vertical (penetração). Em análises elementares é prática comum usar essa decomposição quando a força normal no plano de cisalhamento não é fornecida separadamente (a tensão fornecida \tau foi usada para obter F_s).
Calculando:
\cos29{,}6^\circ\approx 0{,}8698,\qquad \sin29{,}6^\circ\approx 0{,}4934.
F_c = 228{,}1\times 0{,}8698\approx 198{,}5\\ \mathrm{lbf},
F_p = 228{,}1\times 0{,}4934\approx 112{,}5\\ \mathrm{lbf}.
(Observação: a escolha de decompor F_s desta forma é a simplificação usada quando a informação disponível é apenas \tau e não a normal no plano de cisalhamento. Essa é uma abordagem adotada em muitos problemas introdutórios.)

Passo 6

Calcular a força de atrito F entre o cavaco e a face da ferramenta.
Explicação:
  • A força total que o cavaco aplica na ferramenta (resultante sobre a face de rake) tem componentes horizontais e verticais iguais a F_c e F_p.
  • A componente dessa resultante ao longo da face da ferramenta (direção do atrito) é dada por projetar o vetor (F_c,F_p) na direção da face (ângulo \alpha em relação à horizontal). Assim a força de atrito é
F = F_c\cos\alpha + F_p\sin\alpha.
(Essa expressão vem da decomposição da resultante na direção da face da ferramenta.)
Cálculo numérico (usar \cos20^\circ\approx0{,}9397 e \sin20^\circ\approx0{,}3420):
F = 198{,}5\times 0{,}9397 + 112{,}5\times 0{,}3420 \approx 186{,}5 + 38{,}5 \approx 225{,}0\\ \mathrm{lbf}.

Passo 7

Pequena verificação e nota final:
  • A resultante sobre a face da ferramenta tem magnitude aproximadamente igual a F_s no caso em que a força normal no plano de cisalhamento foi desprezada; veja que \sqrt{F_c^2+F_p^2}\approx 228{,}2\\ \mathrm{lbf}, próxima de F_s.
  • As aproximações feitas (usar \tau A_s para obter F_s e decompor F_s diretamente em F_c e F_p) são as usadas em exercícios didáticos quando não são fornecidos dados sobre tensões normais no plano de cisalhamento nem coeficiente de atrito. Se o problema exigisse uma estimativa mais refinada, seria preciso conhecer ou determinar a tensão normal no plano de cisalhamento ou o coeficiente de atrito entre cavaco e ferramenta.

Resposta

(a) \varphi \approx 29{,}6^\circ
(b) F_s \approx 228{,}1\\ \mathrm{lbf}
(c) F_c \approx 198{,}5\\ \mathrm{lbf}
F_p \approx 112{,}5\\ \mathrm{lbf}
(d) F \approx 225{,}0\\ \mathrm{lbf}

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