(1,0) A força elástica em 1 D no eixo \hat{x} é dada por:
F(x)=-k x
onde x é a elongação da mola e k a constante da mola. Mostre que a energia potencial U(x) armazenada na mola é dada por:
U(x)=\frac{1}{2} k x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a força elástica unidimensional no eixo \hat{x}:
F(x) = -k x
onde \,x é a elongação da mola (deslocamento em relação à posição de equilíbrio) e \,k é a constante elástica da mola. A tarefa é mostrar que a energia potencial armazenada na mola é
U(x)=\frac{1}{2} k x^{2}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão explícita da força \,F(x) = -k x.
  • A variável \,x representa elongação (unidade: metros).
  • A constante \,k é positiva (unidade: N/m).
  • Queremos a expressão da energia potencial U em função de \,x.

Passo 2

Conceito-chave (explicado devagar): para forças conservativas em uma dimensão, a energia potencial U(x) está relacionada à força pela relação
F(x) = -\frac{dU}{dx}.
O significado físico: a força aponta na direção em que a energia potencial decresce. Matematicamente, isso diz que a derivada de U em relação a x é -F(x). Aqui não assume nada avançado — é só a definição de energia potencial para forças conservativas.

Passo 3

Aplique a relação acima ao nosso F(x). Temos
\frac{dU}{dx} = -F(x).
Substituindo \,F(x)=-k x obtemos
\frac{dU}{dx} = -(-k x) = k x.
Expliquei cada passo: pegamos a definição, substituímos a expressão dada para a força e simplificamos o sinal.

Passo 4

Agora integramos para obter U(x). Escrevemos a diferencial e integramos entre um ponto de referência (escolhemos 0) e x:
dU = k x\,dx.
Integrando ambos os lados:
\int_{U(0)}^{U(x)} dU' = \int_{0}^{x} k x'\,dx'.
Aqui usei x' e U' como variáveis de integração para ficar claro que é uma soma acumulada desde 0 até x.

Passo 5

Calcule as integrais. No lado esquerdo:
\int_{U(0)}^{U(x)} dU' = U(x) - U(0).
No lado direito:
\int_{0}^{x} k x'\,dx' = k \left[\frac{{x'}^{2}}{2}\right]_{0}^{x} = \frac{1}{2} k x^{2}.
Portanto
U(x) - U(0) = \frac{1}{2} k x^{2}.

Passo 6

Escolha da constante de referência: a energia potencial está definida à custa de uma constante aditiva. É comum e conveniente escolher
U(0)=0,
isto é, tomar zero de energia potencial na posição de equilíbrio x=0. Com essa escolha obtemos
U(x)=\frac{1}{2} k x^{2}.
Interpretação física curta: U(x) é sempre não negativa e cresce com x^{2}; a mola armazena mais energia quanto maior a elongação.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar: se \,k=200\\ \mathrm{N/m} e \,x=0,05\\ \mathrm{m}, então
U(x)=\tfrac{1}{2}\cdot 200 \cdot (0,05)^{2} = 0,25\\ \mathrm{J}.
Isso mostra como aplicar a fórmula na prática.

Resposta

U(x)=\frac{1}{2}k x^{2}

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