A força elástica em 1 D no eixo
é dada por:
onde
é a elongação da mola e
a constante da mola. Mostre que a energia potencial
armazenada na mola é dada por:
Passo 1
O enunciado dá a força elástica unidimensional no eixo
:
onde
é a elongação da mola (deslocamento em relação à posição de equilíbrio) e
é a constante elástica da mola. A tarefa é mostrar que a energia potencial armazenada na mola é
Informações relevantes dadas:
- A expressão explícita da força
. - A variável
representa elongação (unidade: metros). - A constante
é positiva (unidade: N/m). - Queremos a expressão da energia potencial
em função de .
Passo 2
Conceito-chave (explicado devagar): para forças conservativas em uma dimensão, a energia potencial
está relacionada à força pela relação
O significado físico: a força aponta na direção em que a energia potencial decresce. Matematicamente, isso diz que a derivada de
em relação a
é
. Aqui não assume nada avançado — é só a definição de energia potencial para forças conservativas.
Passo 3
Aplique a relação acima ao nosso
. Temos
Substituindo
obtemos
Expliquei cada passo: pegamos a definição, substituímos a expressão dada para a força e simplificamos o sinal.
Passo 4
Agora integramos para obter
. Escrevemos a diferencial e integramos entre um ponto de referência (escolhemos
) e
:
Integrando ambos os lados:
Aqui usei
e
como variáveis de integração para ficar claro que é uma soma acumulada desde
até
.
Passo 5
Calcule as integrais. No lado esquerdo:
No lado direito:
Portanto
Passo 6
Escolha da constante de referência: a energia potencial está definida à custa de uma constante aditiva. É comum e conveniente escolher
isto é, tomar zero de energia potencial na posição de equilíbrio
. Com essa escolha obtemos
Interpretação física curta:
é sempre não negativa e cresce com
; a mola armazena mais energia quanto maior a elongação.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar: se
e
, então
Isso mostra como aplicar a fórmula na prática.