Seja dado um sistema com dois corpos
e
. Suas massas são
e
. Considere o sistema de referencial no qual o eixo
está na horizontal apontado para direita e o eixo
está na vertical e apontado para cima. Nesse referencial a posição inicial de cada corpo é
e
,
. A seguir solta-se os dois corpos simultâneamente para caírem em queda livre no vácuo e seja
a aceleração da gravidade. Faça o desenho para entender o que está acontecendo.
a)
Calcule a velocidade do CM
b)
Calcule a aceleração do centro de massa.
a)
b)
Passo 1
O enunciado dá um sistema com dois corpos e pede duas coisas: a) calcular a velocidade do centro de massa (CM) e b) calcular a aceleração do centro de massa. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
os dois corpos são soltos simultaneamente (logo as velocidades iniciais são nulas) e a aceleração da gravidade é
Nada no enunciado fornece forças horizontais externas, portanto esperaremos que não haja aceleração no eixo
.
Passo 2
Primeiro vamos escrever a definição do centro de massa (CM) e sua velocidade. Para um sistema de duas partículas a posição do CM é
onde
é a massa total
A velocidade do CM é a derivada temporal da posição do CM, ou, equivalente, a média ponderada das velocidades:
Aqui
e
são as massas (em
),
são as posições e
as velocidades de cada partícula. Essas fórmulas são básicas e úteis porque transformam o problema de várias partículas num problema equivalente de uma partícula de massa
localizada no CM.
Passo 3
Vamos obter as velocidades individuais dos corpos durante a queda livre. Como ambos são soltos do repouso e caem no vácuo com a mesma aceleração
, as velocidades dos corpos em função do tempo
são (tomando
na soltura)
e como
(foram soltos), temos
Isso significa que, em queda livre sem resistência, corpos diferentes têm exatamente a mesma velocidade vetorial se começaram do repouso ao mesmo tempo.
Passo 4
Agora substituímos essas velocidades na expressão do CM. Primeiro calculemos a massa total:
A velocidade do CM é
Como
, isso simplifica diretamente para
Colocando o valor numérico de
,
Observe que o componente horizontal é zero porque não há forças externas em
e as velocidades iniciais em
são nulas.
Passo 5
Agora a aceleração do CM. Podemos obter por derivação temporal de
ou usar a forma compacta da segunda lei para o CM:
As únicas forças externas relevantes aqui são os pesos dos corpos, que somam
. Logo
Numericamente,
Isto confirma também ao derivarmos
: