Seja dado um sistema com dois corpos A e B. Suas massas são m_{4}=10 \mathrm{~kg} e m_{B}=20 \mathrm{~kg}. Considere o sistema de referencial no qual o eixo \hat{x} está na horizontal apontado para direita e o eixo \hat{y} está na vertical e apontado para cima. Nesse referencial a posição inicial de cada corpo é x_{A}=0, y_{A}=H=10 m e x_{B}=X=5 m, y_{B}=H=10 \mathrm{~m}. A seguir solta-se os dois corpos simultâneamente para caírem em queda livre no vácuo e seja \vec{g}=-9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \hat{y} a aceleração da gravidade. Faça o desenho para entender o que está acontecendo.
a) (0,4) Calcule a velocidade do CM
b) (0,4) Calcule a aceleração do centro de massa.

Passo 1

O enunciado dá um sistema com dois corpos e pede duas coisas: a) calcular a velocidade do centro de massa (CM) e b) calcular a aceleração do centro de massa. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
m_{A}=10\\ \mathrm{kg},\qquad m_{B}=20\\ \mathrm{kg},
x_{A}=0,\; y_{A}=H=10\\ \mathrm{m},\qquad x_{B}=X=5\\ \mathrm{m},\; y_{B}=H=10\\ \mathrm{m},
os dois corpos são soltos simultaneamente (logo as velocidades iniciais são nulas) e a aceleração da gravidade é
\vec{g}=-9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}\\ \hat{y}.
Nada no enunciado fornece forças horizontais externas, portanto esperaremos que não haja aceleração no eixo \hat{x}.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a definição do centro de massa (CM) e sua velocidade. Para um sistema de duas partículas a posição do CM é
\vec{R}_{CM}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_{i}\vec{r}_{i}=\frac{m_{A}\vec{r}_{A}+m_{B}\vec{r}_{B}}{M},
onde M é a massa total
M=m_{A}+m_{B}.
A velocidade do CM é a derivada temporal da posição do CM, ou, equivalente, a média ponderada das velocidades:
\vec{V}_{CM}=\frac{m_{A}\vec{v}_{A}+m_{B}\vec{v}_{B}}{M}.
Aqui m_{A} e m_{B} são as massas (em \mathrm{kg}), \vec{r}_{i} são as posições e \vec{v}_{i} as velocidades de cada partícula. Essas fórmulas são básicas e úteis porque transformam o problema de várias partículas num problema equivalente de uma partícula de massa M localizada no CM.

Passo 3

Vamos obter as velocidades individuais dos corpos durante a queda livre. Como ambos são soltos do repouso e caem no vácuo com a mesma aceleração \vec{g}, as velocidades dos corpos em função do tempo t são (tomando t=0 na soltura)
\vec{v}_{A}(t)=\vec{v}_{B}(t)=\vec{v}_0+\vec{g}\,t,
e como \vec{v}_0=\vec{0} (foram soltos), temos
\vec{v}_{A}(t)=\vec{v}_{B}(t)=\vec{g}\,t.
Isso significa que, em queda livre sem resistência, corpos diferentes têm exatamente a mesma velocidade vetorial se começaram do repouso ao mesmo tempo.

Passo 4

Agora substituímos essas velocidades na expressão do CM. Primeiro calculemos a massa total:
M=m_{A}+m_{B}=10+20=30\\ \mathrm{kg}.
A velocidade do CM é
\vec{V}_{CM}(t)=\frac{m_{A}\vec{v}_{A}(t)+m_{B}\vec{v}_{B}(t)}{M} =\frac{m_{A}\vec{g}\,t+m_{B}\vec{g}\,t}{M} =\frac{(m_{A}+m_{B})\vec{g}\,t}{M}.
Como m_{A}+m_{B}=M, isso simplifica diretamente para
\vec{V}_{CM}(t)=\vec{g}\,t.
Colocando o valor numérico de \vec{g},
\vec{V}_{CM}(t)=-9,8\\ t\\ \hat{y}\quad\text{(em m/s)}.
Observe que o componente horizontal é zero porque não há forças externas em \hat{x} e as velocidades iniciais em \hat{x} são nulas.

Passo 5

Agora a aceleração do CM. Podemos obter por derivação temporal de \vec{V}_{CM}(t) ou usar a forma compacta da segunda lei para o CM:
M\vec{a}_{CM}=\sum \vec{F}_{\text{ext}}.
As únicas forças externas relevantes aqui são os pesos dos corpos, que somam (m_{A}+m_{B})\vec{g}=M\vec{g}. Logo
M\vec{a}_{CM}=M\vec{g}\quad\Rightarrow\quad \vec{a}_{CM}=\vec{g}.
Numericamente,
\vec{a}_{CM}=-9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}\\ \hat{y}.
Isto confirma também ao derivarmos \vec{V}_{CM}(t):
\frac{d}{dt}\big(\vec{V}_{CM}(t)\big)=\frac{d}{dt}\big(\vec{g}\,t\big)=\vec{g}.

Resposta

\vec{V}_{CM}(t)=-9,8\\ t\\ \hat{y}\\ \mathrm{(m/s)}
\vec{a}_{CM}=-9,8\\ \hat{y}\\ \mathrm{(m/s^{2})}

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