Seja dado um sistema de partículas formado por duas partículas
e
, suas respectivas massas são
e
. a partícula
viaja para leste com velocidade
e a partícula
viaja para oeste com velocidade
. Determine a velocidade do Centro de Massa do sistema nos seguintes casos.
b)
e
.
b)
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a velocidade do centro de massa do sistema formado por duas partículas
e
no caso (b).\n
Informações dadas (copiadas do enunciado):\n
Informações dadas (copiadas do enunciado):\n
- Velocidade da partícula
: .\n - Velocidade da partícula
: (o sinal negativo indica que vai para oeste).\n - Massas:
e .\n
Pergunta explícita: calcular(velocidade do centro de massa) para esses valores.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):\n
O centro de massa é como se fosse o “ponto médio ponderado” das massas, e sua velocidade é a média das velocidades ponderada pelas massas. A fórmula vetorial geral é
O centro de massa é como se fosse o “ponto médio ponderado” das massas, e sua velocidade é a média das velocidades ponderada pelas massas. A fórmula vetorial geral é
Aqui
é a velocidade do centro de massa; cada
é a massa da partícula
; cada
é a velocidade vetorial da partícula
; e as somas são sobre todas as partículas do sistema. Essa fórmula vem de diferenciar a posição do centro de massa
em relação ao tempo.
Passo 3
Simplificação para este problema (1D ao longo do eixo
) e escolha de sinais:\n
Como todas as velocidades estão ao longo de , podemos trabalhar com as componentes em
. Adotamos leste como positivo. Assim:
Como todas as velocidades estão ao longo de
As massas são
e
. Note que o fator simbólico
(uma massa base) provavelmente cancela.
Passo 4
Aplicando a fórmula e desenvolvendo as contas passo a passo:\n
Escrevendo a fórmula para duas partículas:
Escrevendo a fórmula para duas partículas:
Como tudo está em
, podemos escrever só a componente
:
Substituindo
:
Calcule o numerador passo a passo:
logo
O denominador é
Passo 5
Simplificação final e interpretação:\n
Dividindo numerador por denominador:
Dividindo numerador por denominador:
Como é positivo, a direção é para leste, isto é, ao longo de
. Em forma vetorial:
Passo 6
Checagem rápida de sanidade (entender o resultado):\n
O valor está entre e
, como esperado para uma média ponderada. Como
é maior que
, o centro de massa fica mais “puxado” para a velocidade de
(positiva), então a velocidade do CM é positiva e relativamente pequena (
), fazendo sentido físico.
O valor está entre