Seja dado um sistema de partículas formado por duas partículas A e B, suas respectivas massas são m_{A} e m_{B}. a partícula A viaja para leste com velocidade \vec{v}_{A}=18 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \hat{x} e a partícula B viaja para oeste com velocidade \vec{v}_{B}=-20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \hat{x}. Determine a velocidade do Centro de Massa do sistema nos seguintes casos.
b) (0,2) m_{A}=3 m e m_{B}=2 m.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a velocidade do centro de massa do sistema formado por duas partículas A e B no caso (b).\n
Informações dadas (copiadas do enunciado):\n
  • Velocidade da partícula A: \vec{v}_{A}=18\\ \mathrm{m/s}\\ \hat{x}.\n
  • Velocidade da partícula B: \vec{v}_{B}=-20\\ \mathrm{m/s}\\ \hat{x} (o sinal negativo indica que vai para oeste).\n
  • Massas: \;m_{A}=3m e \;m_{B}=2m.\n
    Pergunta explícita: calcular \vec{v}_{\mathrm{CM}} (velocidade do centro de massa) para esses valores.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):\n
O centro de massa é como se fosse o “ponto médio ponderado” das massas, e sua velocidade é a média das velocidades ponderada pelas massas. A fórmula vetorial geral é
\vec{v}_{\mathrm{CM}}=\frac{\sum_{i} m_{i}\vec{v}_{i}}{\sum_{i} m_{i}}.
Aqui \vec{v}_{\mathrm{CM}} é a velocidade do centro de massa; cada m_{i} é a massa da partícula i; cada \vec{v}_{i} é a velocidade vetorial da partícula i; e as somas são sobre todas as partículas do sistema. Essa fórmula vem de diferenciar a posição do centro de massa \vec{R}=(1/M)\sum m_{i}\vec{r}_{i} em relação ao tempo.

Passo 3

Simplificação para este problema (1D ao longo do eixo x) e escolha de sinais:\n
Como todas as velocidades estão ao longo de \hat{x}, podemos trabalhar com as componentes em x. Adotamos leste como positivo. Assim:
v_{A}=18\\ \mathrm{m/s},\qquad v_{B}=-20\\ \mathrm{m/s}.
As massas são \;m_{A}=3m e \;m_{B}=2m. Note que o fator simbólico m (uma massa base) provavelmente cancela.

Passo 4

Aplicando a fórmula e desenvolvendo as contas passo a passo:\n
Escrevendo a fórmula para duas partículas:
\vec{v}_{\mathrm{CM}}=\frac{m_{A}\vec{v}_{A}+m_{B}\vec{v}_{B}}{m_{A}+m_{B}}.
Como tudo está em \hat{x}, podemos escrever só a componente x:
v_{\mathrm{CM},x}=\frac{m_{A}v_{A}+m_{B}v_{B}}{m_{A}+m_{B}}.
Substituindo m_{A}=3m,\;m_{B}=2m,\;v_{A}=18,\;v_{B}=-20:
v_{\mathrm{CM},x}=\frac{3m\cdot 18 + 2m\cdot(-20)}{3m+2m}.
Calcule o numerador passo a passo:
3m\cdot 18 = 54m,\qquad 2m\cdot(-20) = -40m,
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\text{numerador} = 54m - 40m = 14m.
O denominador é
3m+2m = 5m.

Passo 5

Simplificação final e interpretação:\n
Dividindo numerador por denominador:
v_{\mathrm{CM},x}=\frac{14m}{5m}=\frac{14}{5}=2,8\\ \mathrm{m/s}.
Como é positivo, a direção é para leste, isto é, ao longo de \hat{x}. Em forma vetorial:
\vec{v}_{\mathrm{CM}}=2,8\\ \mathrm{m/s}\\ \hat{x}.

Passo 6

Checagem rápida de sanidade (entender o resultado):\n
O valor está entre -20 e +18, como esperado para uma média ponderada. Como m_{A}=3m é maior que m_{B}=2m, o centro de massa fica mais “puxado” para a velocidade de A (positiva), então a velocidade do CM é positiva e relativamente pequena ( 2,8\\ \mathrm{m/s}), fazendo sentido físico.

Resposta

\vec{v}_{\mathrm{CM}}=2,8\\ \mathrm{m/s}\\ \hat{x}

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