A força F=(3 x^2 N) i+(4 N) j, com x em metros, age sobre uma partícula, mudando apenas a energia cinética da partícula. Qual é o trabalho realizado sobre a partícula quando ela se desloca das coordenadas (2 m, 3 m ) para ( 3 m, 0 m )? A velocidade da partícula aumenta, diminui ou permanece a mesma?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma força F = (3x^2 N) i + (4 N) j agindo sobre uma partícula que se move do ponto (2 m, 3 m) para (3 m, 0 m). Nosso objetivo é calcular o trabalho realizado por essa força durante o deslocamento e descobrir se a velocidade da partícula aumenta, diminui ou permanece a mesma. Para isso, vamos usar os conceitos de trabalho e energia cinética da física.

Passo 2

Vamos começar lembrando a fórmula do trabalho realizado por uma força durante um deslocamento. O trabalho W é dado pela integral da força ao longo do caminho percorrido:
W = integralr1^r2 F cdot dr
Onde:
  • F é a força aplicada.
  • dr é o deslocamento infinitesimal.

Passo 3

Agora, vamos expressar a força nas suas componentes:
F = Fx i + Fy j = 3x^2 i + 4 j N
O deslocamento ocorre do ponto (2 m, 3 m) para (3 m, 0 m), o que significa que x varia de 2 m a 3 m e y varia de 3 m a 0 m.

Passo 4

Para calcular o trabalho, precisamos considerar como a força varia ao longo do caminho. Vamos parametrizar o movimento considerando uma variável t que varia de 0 a 1, onde t=0 corresponde ao ponto inicial e t=1 ao ponto final.
Assim:
  • x(t) = 2 + (3-2)t = 2 + t
  • y(t) = 3 + (0-3)t = 3 - 3t
Calculando as derivadas:
  • dxdt = 1
  • dydt = -3
O deslocamento vetorial é então:
dr = dxdt dt i + dydt dt j = (1 m) i dt + (-3 m) j dt

Passo 5

Vamos substituir F e dr na expressão do trabalho:
W = integral0^1 [3x^2 i + 4 j] cdot [(1)i + (-3)j] dt
Calculando o produto escalar:
F cdot dr = 3x^2 cdot 1 + 4 cdot (-3) = 3x^2 - 12
Substituindo x(t):
W = integral0^1 [3(2 + t)^2 - 12] dt
Expandindo (2 + t)^2:
(2 + t)^2 = 4 + 4t + t^2
Então:
W = integral0^1 [3(4 + 4t + t^2) - 12] dt = integral0^1 [12 + 12t + 3t^2 - 12] dt = integral0^1 [12t + 3t^2] dt
Integrando termo a termo:
W = [6t^2 + t^3]0^1 = (6 cdot 1^2 + 1^3) - (6 cdot 0^2 + 0^3) = 6 + 1 = 7 J

Resposta

O trabalho realizado sobre a partícula durante o deslocamento é de 7 J. Como o trabalho é positivo, a energia cinética da partícula aumenta, o que significa que a velocidade da partícula também aumenta.

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