Uma força F de intensidade 210 N atua na origem de um sistema de coordenadas. Sabendo que Fx=80 N, thetaz=151,2^circ e Fy<0, determine, (a) os componentes Fy e Fz,(b) os ângulos thetax e thetay^prime.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores juntos! A gente tem uma força F que tem uma intensidade de 210 N e atua na origem de um sistema de coordenadas. Sabemos que a componente Fx dessa força é 80 N, o ângulo thetaz é 151,2°, e que Fy é menor que zero. Nosso objetivo é:
(a) Encontrar as componentes Fy e Fz.
(b) Determinar os ângulos thetax e thetay'.
Para isso, vamos usar conceitos de decomposição de vetores e trigonometria. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma força em um sistema de coordenadas pode ser decomposta em suas componentes ao longo dos eixos x, y e z. A intensidade total do vetor força F está relacionada com suas componentes pela fórmula:
|F| = raizFx^2 + Fy^2 + Fz^2
Como já temos Fx = 80 N e |F| = 210 N, podemos usar essa relação para achar Fy e Fz.

Passo 3

Vamos rearranjar a fórmula para encontrar Fy^2 + Fz^2:
Fy^2 + Fz^2 = |F|^2 - Fx^2 = 210^2 - 80^2 = 44100 - 6400 = 37700
Agora, sabemos que Fz pode ser relacionado ao ângulo thetaz através da função cosseno:
cos(thetaz) = Fz|F|
Vamos isolar Fz:
Fz = |F| cdot cos(thetaz) = 210 cdot cos(151,2°)
Calculando cos(151,2°):
cos(151,2°) approx -0,8736
Então,
Fz approx 210 cdot (-0,8736) approx -183,456 N
Agora, voltamos à equação Fy^2 + Fz^2 = 37700 para encontrar Fy:
Fy^2 = 37700 - Fz^2 = 37700 - (-183,456)^2 approx 37700 - 33643,9 approx 4056,1
Como Fy < 0, temos:
Fy = -raiz4056,1 approx -63,7 N

Passo 4

Agora, vamos determinar os ângulos thetax e thetay'.
Para thetax, usamos:
cos(thetax) = Fx|F| = 80210 approx 0,38095
Então,
thetax = arccos(0,38095) approx 67,5°
Para thetay', usamos:
sin(thetay') = FyraizFy^2 + Fz^2 = -63,7raiz(-63,7)^2 + (-183,456)^2 approx -63,7raiz4056,1 + 33643,9 = -63,7raiz37700 approx -63,7194,2 approx -0,3287
Então,
thetay' = arcsin(-0,3287) approx -19,2°

Resposta

(a) As componentes da força são:
Fy approx -63,7 N, Fz approx -183,5 N
(b) Os ângulos são:
thetax approx 67,5°, thetay' approx -19,2°

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