Considere um projétil lançado verticalmente a partir da superfície terrestre. Desconsiderando a resistência do ar, determine o menor valor do módulo da velocidade inicial do projétil para que ele escape da influência do campo gravitacional da Terra.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um projétil que é lançado verticalmente a partir da superfície da Terra, sem considerar a resistência do ar. Nosso objetivo é encontrar a menor velocidade inicial que esse projétil precisa ter para escapar completamente da influência da gravidade da Terra. Ou seja, estamos lidando com o conceito de velocidade de escape, que é parte da física que estuda as forças gravitacionais e o movimento dos corpos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa escapar da influência gravitacional da Terra. Para que o projétil consiga isso, sua energia cinética inicial precisa ser suficiente para superar a energia potencial gravitacional que a Terra exerce sobre ele. Isso significa que a energia que o projétil possui devido ao seu movimento (energia cinética) deve ser igual ou maior que a energia necessária para “sair” da atração gravitacional da Terra (energia potencial gravitacional).

Passo 3

A fórmula da energia cinética ( Ec) é dada por:
Ec = 12 m v^2
Onde:
  • m é a massa do projétil
  • v é a velocidade inicial
Já a energia potencial gravitacional ( Ep) é:
Ep = G M mR
Onde:
  • G é a constante gravitacional ( 6,674 times 10^-11 , Nm^2/kg^2)
  • M é a massa da Terra ( 5,972 times 10^24 , kg)
  • R é o raio da Terra ( 6,371 times 10^6 , m)

Passo 4

Para que o projétil escape da Terra, a energia cinética deve ser igual à energia potencial gravitacional:
12 m v^2 = G M mR
Percebemos que a massa m do projétil aparece nos dois lados da equação e pode ser cancelada:
12 v^2 = G MR

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação para encontrar v:
Multiplicando ambos os lados por 2:
v^2 = 2 G MR
E, finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
v = raiz2 G MR

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores conhecidos:
v = raiz2 times 6,674 times 10^-11 , Nm^2/kg^2 times 5,972 times 10^24 , kg6,371 times 10^6 , m
Calculando dentro da raiz:
v = raiz2 times 6,674 times 10^-11 times 5,972 times 10^246,371 times 10^6
v = raiz7,972 times 10^146,371 times 10^6
v = raiz1,251 times 10^8 approx 11180 , m/s

Resposta

Portanto, a menor velocidade inicial necessária para que o projétil escape da influência gravitacional da Terra é aproximadamente 11.2 km/s.

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