Considere um projétil lançado verticalmente a partir da superfície terrestre. Desconsiderando a resistência do ar, determine o menor valor do módulo da velocidade inicial do projétil para que ele escape da influência do campo gravitacional da Terra.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um projétil que é lançado verticalmente a partir da superfície da Terra, sem considerar a resistência do ar. Nosso objetivo é encontrar a menor velocidade inicial que esse projétil precisa ter para escapar completamente da influência da gravidade da Terra. Ou seja, estamos lidando com o conceito de velocidade de escape, que é parte da física que estuda as forças gravitacionais e o movimento dos corpos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa escapar da influência gravitacional da Terra. Para que o projétil consiga isso, sua energia cinética inicial precisa ser suficiente para superar a energia potencial gravitacional que a Terra exerce sobre ele. Isso significa que a energia que o projétil possui devido ao seu movimento (energia cinética) deve ser igual ou maior que a energia necessária para “sair” da atração gravitacional da Terra (energia potencial gravitacional).
Passo 3
A fórmula da energia cinética (
) é dada por:
Onde:
-
é a massa do projétil -
é a velocidade inicial
Já a energia potencial gravitacional (
) é:
Onde:
-
é a constante gravitacional ( ) -
é a massa da Terra ( ) -
é o raio da Terra ( )
Passo 4
Para que o projétil escape da Terra, a energia cinética deve ser igual à energia potencial gravitacional:
Percebemos que a massa
do projétil aparece nos dois lados da equação e pode ser cancelada:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação para encontrar
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
E, finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores conhecidos:
Calculando dentro da raiz:
Resposta
Portanto, a menor velocidade inicial necessária para que o projétil escape da influência gravitacional da Terra é aproximadamente 11.2 km/s.