4- Se a força \mathrm{P}=4 \mathrm{kN}, determine se a seção suporta este carregamento, sabendo que a tensão de tração máxima é de 9 MPa e de compressão é de 3 MPa . Os apoios em A e B exercem somente reações verticais sobre a viga.

Passo 1

O enunciado pede que se verifique se a seção suporta o carregamento dado P=4\\ \text{kN}, sabendo que a tensão admissível à tração é 9\\ \text{MPa} e à compressão é 3\\ \text{MPa}. Os apoios em A e B exercem somente reações verticais.
Informações relevantes (peguei estes dados das imagens fornecidas):
  • Há duas forças concentradas iguais P aplicadas nas extremidades da viga (uma à esquerda e outra à direita) e o enunciado diz P=4\\ \text{kN}.
  • Há uma carga distribuída uniforme q = 3\\ \text{kN/m} aplicada no trecho entre os apoios (comprimento 2\\ \text{m}).
  • Geometria longitudinal da viga (da primeira figura): comprimento total 4\\ \text{m} dividido em três trechos: 1\\ \text{m} (sobrevoo esquerdo) — apoio A 2\\ \text{m} (entre A e B, onde está o UDL) — apoio B 1\\ \text{m} (sobrevoo direito). Ou seja, posições: ponta esquerda x=0, A em x=1\\ \text{m}, B em x=3\\ \text{m}, ponta direita em x=4\\ \text{m}.
  • Geometria da seção transversal (peguei estes comprimentos da segunda imagem):
    • altura total externa 100\\ \text{mm};
    • espessura do topo (ou altura do “lábio” superior) 40\\ \text{mm} (isso aparece na figura);
    • largura total externa aparentemente 40+80+40=160\\ \text{mm} (há 40 mm cada lado e um vão central de 80 mm);
    • há um recorte triangular central com base 80\\ \text{mm} e altura 40\\ \text{mm} (a figura mostra um triângulo interno); tratei a seção como um retângulo exterior 160\times100\\ \text{mm} menos um triângulo isósceles com base 80\\ \text{mm} e altura 40\\ \text{mm}.
  • Observação de incerteza: a figura da seção é um pouco ambígua em orientação do triângulo/recorte. Seguirei a interpretação acima (triângulo recortado na região inferior-central, altura do recorte 40\\ \text{mm}). Se a sua figura estiver orientada de modo diferente, os cálculos de inércia e centróide mudam; aviso isso explicitamente pois a imagem não é perfeitamente clara.
O que vamos calcular:
  1. reações nos apoios por equilíbrio estático;
  2. diagrama de esforços cortantes e momentos para identificar o momento fletor máximo (valor em módulo) que gerará as maiores tensões;
  3. propriedades da seção (centroide, momento de inércia I em torno do eixo neutro horizontal, e os distâncias até fibras extremas c_{\text{top}} e c_{\text{bot}});
  4. tensões máximas \sigma = M c / I na tração e compressão e comparação com os permitidos.

Passo 2

Equilíbrio vertical e momentos para obter as reações. Soma das forças verticais:
\text{Carga total} = 2P + q\cdot L_{\text{UDL}} = 2\cdot 4 + 3\cdot 2 = 8 + 6 = 14\\ \text{kN}.
Sejam R_A e R_B as reações verticais em A e B. Pelo equilíbrio vertical:
R_A + R_B = 14\\ \text{kN}.
Pelo equilíbrio de momentos em torno do centro geométrico (ou por simetria da distribuição de cargas: as duas cargas P estão simetricamente colocadas e o UDL é simétrico entre A e B), as reações são iguais. Um cálculo direto (momento em torno do apoio A com sinais bem escolhidos) dá a mesma conclusão:
R_A = R_B = \frac{2P + q\cdot L_{\text{UDL}}}{2} = \frac{8 + 6}{2} = 7\\ \text{kN}.
Portanto:
R_A = R_B = 7\\ \text{kN}.
Comentário didático rápido: por simetria (posições e cargas simétricas em relação ao centro do vão entre apoios) as reações ficam iguais. Em problemas simétricos essa observação salva tempo.

Passo 3

Diagrama de esforço cortante V(x) e determinação da(s) posição(ões) do momento fletor máximo.
  • Para 0<x<1 (sobrevoo esquerdo): só atua a força concentrada P na extremidade esquerda, então o esforço cortante logo à direita da carga é V = -P = -4\\ \text{kN}.
  • Ao atravessar o apoio A (em x=1) o cortante salta de -4\\ \text{kN} para -4 + R_A = -4 + 7 = +3\\ \text{kN} à direita de A.
  • Entre A e B ( 1<x<3 ), existe q=3\\ \text{kN/m} atuando; o cortante varia linearmente: começando em +3\\ \text{kN} em x=1^+ e decrescendo com inclinação -q.
    • Zerar o cortante: 3 - 3 (x-1) = 0 \Rightarrow x-1 = 1 \Rightarrow x = 2\\ \text{m}. Assim o ponto onde o cortante anula (e portanto onde o momento atinge um extremo) é exatamente o ponto médio entre A e B, x=2\\ \text{m} (simetria confirma).
  • Portanto o momento é extremizado em x=2. Também há momentos significativos nos sobrevoos próximo aos apoios; calcularemos valores numéricos para comparar.
Cálculo do momento fletor em x=2 (momento interno devido às forças à esquerda do corte em x=2). Tomando momentos das forças à esquerda do corte (sinais: escolho positivo para o sinal que leva à curvatura de “v” - sagging; o importante é o módulo para comparar com tensões permissíveis):
Forças à esquerda de x=2:
  • P na ponta esquerda em x=0 (distância até o corte 2\\ \text{m}): momento = P\cdot 2.
  • R_A = 7\\ \text{kN} em x=1 (distância 1 m): momento = R_A\cdot 1 (sinal oposto).
  • UDL entre 1 e 2: intensidade q=3\\ \text{kN/m}, resultant =3\cdot 1=3\\ \text{kN} atuando em x=1{,}5 (distância até o corte 0{,}5\\ \text{m}).
Somando algébrica (adotando orientação coerente, o resultado final numérico é):
M(2) = R_A\cdot 1 - q\cdot 1 \cdot 0{,}5 - P\cdot 2 = 7\cdot 1 - 3\cdot 0{,}5 - 4\cdot 2 = 7 - 1{,}5 - 8 = -2{,}5\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
O sinal negativo indica o tipo de curvatura (hogging), mas o módulo é |M(2)| = 2{,}5\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Agora avaliamos momentos em outras regiões de interesse:
  • Momento logo à esquerda do apoio A (em x=1^-, dentro do sobrevoo): somente a força P à esquerda contribui:
M(1^-) = -P\cdot 1 = -4\\ \text{kN}\cdot\text{m}\quad(\text{o módulo }4\\ \text{kN}\cdot\text{m}).ó
  • Momento em outros pontos do sobrevoo direito é simétrico: há também |M|=4\\ \text{kN}\cdot\text{m} próximo ao apoio B no lado do sobrevoo.
Comparando módulos, o maior valor absoluto de momento encontrado é
M_{\max,\text{abs}} = 4{,}0\\ \text{kN}\cdot\text{m} \quad(\text{ocorre nos sobrevoos perto dos apoios, valor em módulo maior que }2{,}5).ó
Comentário didático: o ponto de máximo momento interno nem sempre coincide com o ponto onde o cortante é zero se há singularidades (forças concentradas em sobrevoos). Aqui a força concentrada no sobrevoo gera um momento absoluto maior ( 4\\ \text{kN}\cdot\text{m}) do que o momento estacionário no meio do vão ( 2{,}5\\ \text{kN}\cdot\text{m}). Para as tensões máximas interessa o maior momento em módulo.
Convertendo M para unidades consistentes com mm para a seção:
M_{\max} = 4{,}0\\ \text{kN}\cdot\text{m} = 4{,}0\times 10^{3}\\ \text{N}\cdot\text{m} = 4{,}0\times 10^{6}\\ \text{N}\cdot\text{mm}.

Passo 4

Cálculo do centroide e do momento de inércia da seção (assumindo a interpretação da figura descrita no Passo 1).
  1. Área do retângulo externo:
A_{\text{rect}} = 160\\ \text{mm}\times 100\\ \text{mm} = 16\,000\\ \text{mm}^2.
Momento de inércia do retângulo em torno de seu eixo centroidal horizontal:
I_{\text{rect}} = \frac{b h^3}{12} = \frac{160\cdot 100^3}{12} = 13\,333\,333{,}33\\ \text{mm}^4.
  1. Área do triângulo (vazio):
A_{\triangle} = \tfrac{1}{2}\cdot 80\cdot 40 = 1\,600\\ \text{mm}^2.
Momento de inércia do triângulo em torno do seu eixo centroidal (eixo horizontal passando pelo centróide do triângulo; fórmula para triângulo com base horizontal e altura vertical):
I_{\triangle,\text{cent}} = \frac{b h^3}{36} = \frac{80\cdot 40^3}{36} = 142\,222{,}22\\ \text{mm}^4.
  1. Distâncias dos centróides (medidas a partir da base inferior):
  • centróide do retângulo: y_{\text{rect}} = 50\\ \text{mm}.
  • centróide do triângulo (se a base do triângulo estiver na face inferior): y_{\triangle} = \dfrac{h_{\triangle}}{3} = \dfrac{40}{3}\approx 13{,}333\\ \text{mm}.
  1. Centroide da seção composta (retângulo menos triângulo):
A_{\text{net}} = A_{\text{rect}} - A_{\triangle} = 16\,000 - 1\,600 = 14\,400\\ \text{mm}^2.
y_{\text{bar}} = \frac{A_{\text{rect}}\,y_{\text{rect}} - A_{\triangle}\,y_{\triangle}}{A_{\text{net}}} = \frac{16\,000\cdot 50 - 1\,600\cdot 13{,}333\ldots}{14\,400} \approx 54{,}087\\ \text{mm} \quad(\text{medido da base inferior}).
Distâncias até as fibras extremas a partir do centróide:
c_{\text{bot}} = y_{\text{bar}} \approx 54{,}087\\ \text{mm},\qquad c_{\text{top}} = 100 - y_{\text{bar}} \approx 45{,}913\\ \text{mm}.
  1. Momento de inércia da seção composta em torno do eixo neutro horizontal:
I_{\text{net}} = I_{\text{rect}} - \big(I_{\triangle,\text{cent}} + A_{\triangle} d^2\big),
onde d = y_{\text{rect-cent}} - y_{\triangle} = 50 - 13{,}333\ldots = 36{,}666\ldots\\ \text{mm} (distância entre centroides para o teorema dos eixos paralelos).
Cálculo numérico:
A_{\triangle} d^2 = 1\,600 \cdot (36{,}6667)^2 \approx 2\,151\,110{,}4\\ \text{mm}^4,
I_{\text{net}} \approx 13\,333\,333{,}33 - (142\,222{,}22 + 2\,151\,110{,}4) \approx 11\,040\,000{,}7\\ \text{mm}^4.
Seções modulantes (módulos de resistência) em torno do eixo neutro:
S_{\text{top}} = \frac{I_{\text{net}}}{c_{\text{top}}} \approx \frac{11{,}040{,}000{,}7}{45{,}913} \approx 240{,}500\\ \text{mm}^3,
S_{\text{bot}} = \frac{I_{\text{net}}}{c_{\text{bot}}} \approx \frac{11{,}040{,}000{,}7}{54{,}087} \approx 204{,}200\\ \text{mm}^3.
Comentário didático: o procedimento foi usar a seção externa inteira e subtrair a contribuição do vazio triangular aplicando o teorema dos eixos paralelos. Atenção: todos os números geométricos (160, 100, 80, 40 mm) foram lidos/inferidos da figura; se a figura for diferente, refazer este passo.

Passo 5

Cálculo das tensões máximas por flexão usando a fórmula da flexão simples (fórmula de Navier):
\sigma = \frac{M\,c}{I} = \frac{M}{S}.
Usando o momento máximo em módulo M_{\max} = 4{,}0\\ \text{kN}\cdot\text{m} = 4{,}0\times 10^{6}\\ \text{N}\cdot\text{mm}:
  • tensão na fibra inferior (aquela mais afastada do neutro, normalmente a tração quando o momento é no sentido mostrado):
\sigma_{\text{tração,max}} = \frac{M_{\max}}{S_{\text{bot}}} = \frac{4{,}0\times 10^{6}}{204{,}200}\\ \text{N/mm}^2 \approx 19{,}6\\ \text{MPa}.çã
  • tensão na fibra superior (compressão máxima):
\sigma_{\text{compressão,max}} = \frac{M_{\max}}{S_{\text{top}}} = \frac{4{,}0\times 10^{6}}{240{,}500}\\ \text{N/mm}^2 \approx 16{,}6\\ \text{MPa}.ã
Comparação com admissíveis:
  • admissível tração = 9\\ \text{MPa}. Calculado \sigma_{\text{tração,max}}\approx 19{,}6\\ \text{MPa} > 9\\ \text{MPa}çã → excede o admissível.
  • admissível compressão = 3\\ \text{MPa}. Calculado \sigma_{\text{compressão,max}}\approx 16{,}6\\ \text{MPa} > 3\\ \text{MPa}ã → também excede.
Portanto, ambas as tensões (tração e compressão) ultrapassam os limites fornecidos: a seção NÃO suporta o carregamento.

Passo 6

  • Resultado: a seção falha por fadiga estática (supera tensões admissíveis).
  • Observação final sobre incerteza: os cálculos geométricos da seção (centroide, I, S) basearam-se na interpretação da figura (retângulo externo 160\times100\\ \text{mm} com triângulo interno de base 80\\ \text{mm} e altura 40\\ \text{mm}). Se a forma real for diferente (por exemplo se o recorte triangular estivesse orientado de outra maneira, ou se as espessuras fossem outras), os valores numéricos mudam, mas o método permanece o mesmo: (1) obter R_A,R_B; (2) identificar M_{\max}; (3) calcular I e c; (4) usar \sigma=M c/I e comparar com admissíveis.

Resposta

Não — a seção não suporta o carregamento.
Tensão de tração máxima \approx 19{,}6\\ \mathrm{MPa} > 9\\ \mathrm{MPa}.
Tensão de compressão máxima \approx 16{,}6\\ \mathrm{MPa} > 3\\ \mathrm{MPa}.

Exercícios relacionados