4- Se a força
, determine se a seção suporta este carregamento, sabendo que a tensão de tração máxima é de 9 MPa e de compressão é de 3 MPa . Os apoios em A e B exercem somente reações verticais sobre a viga.
Passo 1
O enunciado pede que se verifique se a seção suporta o carregamento dado
, sabendo que a tensão admissível à tração é
e à compressão é
. Os apoios em
e
exercem somente reações verticais.
Informações relevantes (peguei estes dados das imagens fornecidas):
- Há duas forças concentradas iguais
aplicadas nas extremidades da viga (uma à esquerda e outra à direita) e o enunciado diz . - Há uma carga distribuída uniforme
aplicada no trecho entre os apoios (comprimento ). - Geometria longitudinal da viga (da primeira figura): comprimento total
dividido em três trechos: (sobrevoo esquerdo) — apoio — (entre A e B, onde está o UDL) — apoio — (sobrevoo direito). Ou seja, posições: ponta esquerda , em , em , ponta direita em . - Geometria da seção transversal (peguei estes comprimentos da segunda imagem):
- altura total externa
; - espessura do topo (ou altura do “lábio” superior)
(isso aparece na figura); - largura total externa aparentemente
(há 40 mm cada lado e um vão central de 80 mm); - há um recorte triangular central com base
e altura (a figura mostra um triângulo interno); tratei a seção como um retângulo exterior menos um triângulo isósceles com base e altura .
- altura total externa
- Observação de incerteza: a figura da seção é um pouco ambígua em orientação do triângulo/recorte. Seguirei a interpretação acima (triângulo recortado na região inferior-central, altura do recorte
). Se a sua figura estiver orientada de modo diferente, os cálculos de inércia e centróide mudam; aviso isso explicitamente pois a imagem não é perfeitamente clara.
O que vamos calcular:
- reações nos apoios por equilíbrio estático;
- diagrama de esforços cortantes e momentos para identificar o momento fletor máximo (valor em módulo) que gerará as maiores tensões;
- propriedades da seção (centroide, momento de inércia
em torno do eixo neutro horizontal, e os distâncias até fibras extremas e ); - tensões máximas
na tração e compressão e comparação com os permitidos.
Passo 2
Equilíbrio vertical e momentos para obter as reações. Soma das forças verticais:
Sejam
e
as reações verticais em
e
. Pelo equilíbrio vertical:
Pelo equilíbrio de momentos em torno do centro geométrico (ou por simetria da distribuição de cargas: as duas cargas
estão simetricamente colocadas e o UDL é simétrico entre
e
), as reações são iguais. Um cálculo direto (momento em torno do apoio
com sinais bem escolhidos) dá a mesma conclusão:
Portanto:
Comentário didático rápido: por simetria (posições e cargas simétricas em relação ao centro do vão entre apoios) as reações ficam iguais. Em problemas simétricos essa observação salva tempo.
Passo 3
Diagrama de esforço cortante
e determinação da(s) posição(ões) do momento fletor máximo.
- Para
(sobrevoo esquerdo): só atua a força concentrada na extremidade esquerda, então o esforço cortante logo à direita da carga é . - Ao atravessar o apoio
(em ) o cortante salta de para à direita de . - Entre
e ( ), existe atuando; o cortante varia linearmente: começando em em e decrescendo com inclinação . - Zerar o cortante:
. Assim o ponto onde o cortante anula (e portanto onde o momento atinge um extremo) é exatamente o ponto médio entre e , (simetria confirma).
- Zerar o cortante:
- Portanto o momento é extremizado em
. Também há momentos significativos nos sobrevoos próximo aos apoios; calcularemos valores numéricos para comparar.
Cálculo do momento fletor em
(momento interno devido às forças à esquerda do corte em
). Tomando momentos das forças à esquerda do corte (sinais: escolho positivo para o sinal que leva à curvatura de “v” - sagging; o importante é o módulo para comparar com tensões permissíveis):
Forças à esquerda de
:
-
na ponta esquerda em (distância até o corte ): momento = . -
em (distância 1 m): momento = (sinal oposto). - UDL entre 1 e 2: intensidade
, resultant atuando em (distância até o corte ).
Somando algébrica (adotando orientação coerente, o resultado final numérico é):
O sinal negativo indica o tipo de curvatura (hogging), mas o módulo é
.
Agora avaliamos momentos em outras regiões de interesse:
- Momento logo à esquerda do apoio
(em , dentro do sobrevoo): somente a força à esquerda contribui:
- Momento em outros pontos do sobrevoo direito é simétrico: há também
próximo ao apoio no lado do sobrevoo.
Comparando módulos, o maior valor absoluto de momento encontrado é
Comentário didático: o ponto de máximo momento interno nem sempre coincide com o ponto onde o cortante é zero se há singularidades (forças concentradas em sobrevoos). Aqui a força concentrada no sobrevoo gera um momento absoluto maior (
) do que o momento estacionário no meio do vão (
). Para as tensões máximas interessa o maior momento em módulo.
Convertendo
para unidades consistentes com mm para a seção:
Passo 4
Cálculo do centroide e do momento de inércia da seção (assumindo a interpretação da figura descrita no Passo 1).
- Área do retângulo externo:
Momento de inércia do retângulo em torno de seu eixo centroidal horizontal:
- Área do triângulo (vazio):
Momento de inércia do triângulo em torno do seu eixo centroidal (eixo horizontal passando pelo centróide do triângulo; fórmula para triângulo com base horizontal e altura vertical):
- Distâncias dos centróides (medidas a partir da base inferior):
- centróide do retângulo:
. - centróide do triângulo (se a base do triângulo estiver na face inferior):
- Centroide da seção composta (retângulo menos triângulo):
Distâncias até as fibras extremas a partir do centróide:
- Momento de inércia da seção composta em torno do eixo neutro horizontal:
onde
(distância entre centroides para o teorema dos eixos paralelos).
Cálculo numérico:
Seções modulantes (módulos de resistência) em torno do eixo neutro:
Comentário didático: o procedimento foi usar a seção externa inteira e subtrair a contribuição do vazio triangular aplicando o teorema dos eixos paralelos. Atenção: todos os números geométricos (160, 100, 80, 40 mm) foram lidos/inferidos da figura; se a figura for diferente, refazer este passo.
Passo 5
Cálculo das tensões máximas por flexão usando a fórmula da flexão simples (fórmula de Navier):
Usando o momento máximo em módulo
:
- tensão na fibra inferior (aquela mais afastada do neutro, normalmente a tração quando o momento é no sentido mostrado):
- tensão na fibra superior (compressão máxima):
Comparação com admissíveis:
- admissível tração
. Calculado → excede o admissível. - admissível compressão
. Calculado → também excede.
Portanto, ambas as tensões (tração e compressão) ultrapassam os limites fornecidos: a seção NÃO suporta o carregamento.
Passo 6
- Resultado: a seção falha por fadiga estática (supera tensões admissíveis).
- Observação final sobre incerteza: os cálculos geométricos da seção (centroide,
, ) basearam-se na interpretação da figura (retângulo externo com triângulo interno de base e altura ). Se a forma real for diferente (por exemplo se o recorte triangular estivesse orientado de outra maneira, ou se as espessuras fossem outras), os valores numéricos mudam, mas o método permanece o mesmo: (1) obter ; (2) identificar ; (3) calcular e ; (4) usar e comparar com admissíveis.
Resposta
Não — a seção não suporta o carregamento.
Tensão de tração máxima .
Tensão de compressão máxima .
Tensão de tração máxima
Tensão de compressão máxima