2-(2,5) O painel de sinalização está sujeito a carga uniforme do vento. Determine as componentes de tensão nos pontos C e D no poste de sustentação de 100 mm de diâmetro. Utilize o princípio da superposição de efeitos para obter a resposta final.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes dados da imagem):
  • Pressão uniforme do vento: \,p=1{,}5\\ \text{kPa}=1500\\ \text{N/m}^2\,.
  • Painel retangular com dimensões: 2\\ \text{m} (extensão horizontal a partir do poste) e 1\\ \text{m} (altura). Portanto a área do painel é A_{\text{painel}}=2\cdot1=2\\ \text{m}^2 (peguei a largura e a altura da imagem).
  • O braço (distância radial desde o poste até a borda extrema do painel) mostrado na imagem é 2\\ \text{m} — por isso o centróide do painel fica a 1\\ \text{m} do poste na direção radial (peguei esse 2\\ \text{m} da imagem e infiro que o centróide está a 1\\ \text{m} do poste).
  • A figura também mostra que o painel está colocado a 2\\ \text{m} acima do ponto onde queremos considerar o efeito (peguei esse 2\\ \text{m} verticais na imagem; usaremos essa altura para calcular o momento fletor no poste).
  • Diâmetro do poste: d=100\\ \text{mm}=0{,}100\\ \text{m} (peguei isso da imagem).
  • Pontos na seção circular do poste marcados como A,B,C,D. Vou considerar C como o ponto na periferia do lado que, por convenção, fica alinhado com a direção de maior curvatura (ver passo de geometria) e D como o ponto na periferia na direção perpendicular (na “parte inferior” do círculo). (A imagem mostra a posição relativa A,B,C,D.)
O que o enunciado pede:
  • Determinar as componentes de tensão nos pontos C e D no poste (usar princípio da superposição).
    Portanto precisamos calcular as tensões normais (devida ao momento fletor) e as tensões de cisalhamento (devidas ao esforço cortante e ao torque) no perímetro da seção, e combinar por superposição.

Passo 2

Calcular a força resultante do vento e os momentos/torques que ela produz no poste.
  • Força resultante do vento sobre o painel:
F = p \, A_{\text{painel}} = 1500\\ \text{N/m}^2 \cdot 2\\ \text{m}^2 = 3000\\ \text{N}.
Explicação rápida: pressão vezes área dá força resultante (mesma unidade: N/m2·m2 = N).
  • Braço para gerar torque de torção no poste (a força aplicada a 1{,}0\\ \text{m} do poste, centróide do painel): e=1{,}0\\ \text{m} (peguei da imagem: painel extende 2 m, centróide a 1 m).
T = F\cdot e = 3000\\ \text{N}\cdot 1{,}0\\ \text{m} = 3000\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • Braço para gerar momento fletor (a força atua a 2{,}0\\ \text{m} acima do ponto onde calculamos tensões — pegado da imagem): h=2{,}0\\ \text{m}.
M = F\cdot h = 3000\\ \text{N}\cdot 2{,}0\\ \text{m} = 6000\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Observação: a força resultante F aplicada lateralmente produz (a) um torque T em torno do eixo vertical do poste (torção), porque a força tem braço radial e, e (b) um momento fletor M porque actua a uma altura h sobre a seção considerada (gerando flexão do poste). Também existe esforço cortante transversal V=F na seção.

Passo 3

Propriedades geométricas da seção circular (peguei d da imagem):
  • Diâmetro: d=0{,}100\\ \text{m}.
  • Raio: c = r = \dfrac{d}{2}=0{,}050\\ \text{m}.
  • Área da seção:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}100)^2}{4}=0{,}0078539816\\ \text{m}^2.
  • Momento de inércia da seção (para flexão) — para círculo:
I=\frac{\pi d^{4}}{64}.
Calcule:
d^{4}=(0{,}100)^4=1{,}0\times10^{-4}, \qquad I=\frac{\pi(1{,}0\times10^{-4})}{64}=4{,}9087385\times10^{-6}\\ \text{m}^4.
  • Momento polar de inércia (para torção) J para seção circular maciça:
J=\frac{\pi d^{4}}{32}=2I=9{,}8174771\times10^{-6}\\ \text{m}^4.

Passo 4

Calcular tensões geradas separadamente (superposição).
  1. Tensão normal por flexão (fibre externa):
  • Fórmula de flexão simples para seção sujeita a momento fletor: \displaystyle \sigma_\text{bending}=\frac{M\,c}{I},
    onde M é o momento fletor (N·m), c é a distância da fibra neutra à fibra externa (m) e I o momento de inércia (m^4). Aqui c=r=0{,}050\\ \text{m}.
\sigma_{\text{b}}=\frac{6000\cdot 0{,}050}{4{,}9087385\times10^{-6}} =\frac{300}{4{,}9087385\times10^{-6}} \approx 61\,120\,000\\ \text{Pa}=61{,}12\\ \text{MPa}.
Interpretação de sinal: dependendo do sentido do momento, uma face externa estará em tração e a oposta em compressão. Vou adotar a convenção de que o lado voltado para o painel (lado A na figura) fica em compressão; o lado oposto fica em tração. No nosso resultado de módulo: \,|\sigma_{\text{b}}|=61{,}12\\ \text{MPa}.
  1. Tensão de cisalhamento por torção:
  • Fórmula de torção para eixo circular sólido: \displaystyle \tau_{\text{tors}}=\frac{T\,c}{J}.
\tau_{\text{t}}=\frac{3000\cdot 0{,}050}{9{,}8174771\times10^{-6}} =\frac{150}{9{,}8174771\times10^{-6}} \approx 15\,280\,000\\ \text{Pa}=15{,}28\\ \text{MPa}.
Esta é a tensão de cisalhamento tangencial na superfície devido ao torque.
  1. Tensão de cisalhamento por esforço cortante transversal V=F:
  • Para seção circular a máxima tensão de cisalhamento (no centro) é \displaystyle \tau_{\text{max,trans}}=\frac{4V}{3A}.
\tau_{\text{max,trans}}=\frac{4\cdot 3000}{3\cdot 0{,}0078539816} \approx 509{,}3\times10^{3}\\ \text{Pa}=0{,}509\\ \text{MPa}.
Observação prática: esta cisalhamento transversal tem distribuição parabólica e o valor na superfície externa é muito menor (próximo de zero). Assim, em pontos na periferia a contribuição da cisalha vertical é desprezível comparada ao cisalhamento por torção. Portanto, para as tensões de superfície em C e D usaremos principalmente \tau_{\text{t}} (torção) como cisalhamento predominante.

Passo 5

Determinar coordenadas dos pontos C e D na seção e combinar por superposição.
  • Escolha geométrica (peguei a configuração da imagem): suponha que o eixo vertical do poste é z, o eixo horizontal que aponta na direção radial do painel seja y, e o eixo para fora da página seja x. Então:
    • Ponto C: periferia no lado radial (coord. y=+r, x=0). Neste ponto a componente axial devido à flexão (causada por M) atinge o valor máximo \sigma_{\text{b}}.
    • Ponto D: periferia perpendicular (por exemplo, “embaixo” ou 90° da direção radial) — neste ponto a coordenada na direção do braço de flexão é zero para a componente considerada, então a tensão axial por esse momento neste ponto é nula (ou muito pequena).
Aplicando superposição (as tensões normais e as tensões de cisalhamento somam vetorialmente):
  • No ponto C (periferia do lado radial):
    • Tensão normal (axial) devido à flexão: \sigma_C = -\sigma_{\text{b}} ou +\sigma_{\text{b}} dependendo do sentido; em módulo |\sigma_C|=61{,}12\\ \text{MPa}. Pela convenção adotada (lado voltado para o painel em compressão), se C for o lado afastado do painel teremos tração; se for o lado voltado ao painel teremos compressão. Vou apresentar o valor e indicar compressão para o lado do painel.
    • Tensão de cisalhamento na superfície: a contribuição dominante é a da torção \tau_{\text{t}}=15{,}28\\ \text{MPa}. A componente de cisalhamento por esforço cortante transversal na superfície é desprezível ( \approx 0{,}51\\ \text{MPa} no centro e ~0 na borda).
  • No ponto D (periferia na direção perpendicular ao braço da flexão):
    • Tensão normal por flexão: \sigma_D\approx 0 (porque a coordenada na direção de flexão é zero).
    • Tensão de cisalhamento por torção: mesma \tau_{\text{t}}=15{,}28\\ \text{MPa}.

Passo 6

Resumo numérico final (valores arredondados com duas casas decimais em MPa):
  • Módulo da tensão normal por flexão: \,|\sigma_{\text{b}}|=61{,}12\\ \text{MPa}.
  • Módulo da tensão de cisalhamento por torção na superfície: \,\tau_{\text{t}}=15{,}28\\ \text{MPa}.
  • Máxima cisalha por esforço cortante transversal (no centro da seção): 0{,}509\\ \text{MPa} (pequena e desprezível na superfície).

Resposta

C:\\ \sigma = -61{,}12\\ \text{MPa} (compressão no lado voltado ao painel, magnitude 61{,}12\\ \text{MPa}); \tau = 15{,}28\\ \text{MPa} (cisalhamento por torção).\n
D:\\ \sigma = 0{,}00\\ \text{MPa}; \tau = 15{,}28\\ \text{MPa} (cisalhamento por torção).

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