O painel de sinalização está sujeito a carga uniforme do vento. Determine as componentes de tensão nos pontos C e D no poste de sustentação de 100 mm de diâmetro. Utilize o princípio da superposição de efeitos para obter a resposta final.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes dados da imagem):
- Pressão uniforme do vento:
. - Painel retangular com dimensões:
(extensão horizontal a partir do poste) e (altura). Portanto a área do painel é (peguei a largura e a altura da imagem). - O braço (distância radial desde o poste até a borda extrema do painel) mostrado na imagem é
— por isso o centróide do painel fica a do poste na direção radial (peguei esse da imagem e infiro que o centróide está a do poste). - A figura também mostra que o painel está colocado a
acima do ponto onde queremos considerar o efeito (peguei esse verticais na imagem; usaremos essa altura para calcular o momento fletor no poste). - Diâmetro do poste:
(peguei isso da imagem). - Pontos na seção circular do poste marcados como
. Vou considerar como o ponto na periferia do lado que, por convenção, fica alinhado com a direção de maior curvatura (ver passo de geometria) e como o ponto na periferia na direção perpendicular (na “parte inferior” do círculo). (A imagem mostra a posição relativa .)
O que o enunciado pede:
- Determinar as componentes de tensão nos pontos
e no poste (usar princípio da superposição).
Portanto precisamos calcular as tensões normais (devida ao momento fletor) e as tensões de cisalhamento (devidas ao esforço cortante e ao torque) no perímetro da seção, e combinar por superposição.
Passo 2
Calcular a força resultante do vento e os momentos/torques que ela produz no poste.
- Força resultante do vento sobre o painel:
Explicação rápida: pressão vezes área dá força resultante (mesma unidade: N/m2·m2 = N).
- Braço para gerar torque de torção no poste (a força aplicada a
do poste, centróide do painel): (peguei da imagem: painel extende 2 m, centróide a 1 m).
- Braço para gerar momento fletor (a força atua a
acima do ponto onde calculamos tensões — pegado da imagem): .
Observação: a força resultante
aplicada lateralmente produz (a) um torque
em torno do eixo vertical do poste (torção), porque a força tem braço radial
, e (b) um momento fletor
porque actua a uma altura
sobre a seção considerada (gerando flexão do poste). Também existe esforço cortante transversal
na seção.
Passo 3
Propriedades geométricas da seção circular (peguei
da imagem):
- Diâmetro:
. - Raio:
. - Área da seção:
- Momento de inércia da seção (para flexão) — para círculo:
Calcule:
- Momento polar de inércia (para torção)
para seção circular maciça:
Passo 4
Calcular tensões geradas separadamente (superposição).
- Tensão normal por flexão (fibre externa):
- Fórmula de flexão simples para seção sujeita a momento fletor:
,
ondeé o momento fletor (N·m), é a distância da fibra neutra à fibra externa (m) e o momento de inércia (m^4). Aqui .
Interpretação de sinal: dependendo do sentido do momento, uma face externa estará em tração e a oposta em compressão. Vou adotar a convenção de que o lado voltado para o painel (lado A na figura) fica em compressão; o lado oposto fica em tração. No nosso resultado de módulo:
.
- Tensão de cisalhamento por torção:
- Fórmula de torção para eixo circular sólido:
.
Esta é a tensão de cisalhamento tangencial na superfície devido ao torque.
- Tensão de cisalhamento por esforço cortante transversal
:
- Para seção circular a máxima tensão de cisalhamento (no centro) é
.
Observação prática: esta cisalhamento transversal tem distribuição parabólica e o valor na superfície externa é muito menor (próximo de zero). Assim, em pontos na periferia a contribuição da cisalha vertical é desprezível comparada ao cisalhamento por torção. Portanto, para as tensões de superfície em
e
usaremos principalmente
(torção) como cisalhamento predominante.
Passo 5
Determinar coordenadas dos pontos
e
na seção e combinar por superposição.
- Escolha geométrica (peguei a configuração da imagem): suponha que o eixo vertical do poste é
, o eixo horizontal que aponta na direção radial do painel seja , e o eixo para fora da página seja . Então: - Ponto
: periferia no lado radial (coord. , ). Neste ponto a componente axial devido à flexão (causada por ) atinge o valor máximo . - Ponto
: periferia perpendicular (por exemplo, “embaixo” ou 90° da direção radial) — neste ponto a coordenada na direção do braço de flexão é zero para a componente considerada, então a tensão axial por esse momento neste ponto é nula (ou muito pequena).
- Ponto
Aplicando superposição (as tensões normais e as tensões de cisalhamento somam vetorialmente):
-
No ponto
(periferia do lado radial): - Tensão normal (axial) devido à flexão:
ou dependendo do sentido; em módulo . Pela convenção adotada (lado voltado para o painel em compressão), se for o lado afastado do painel teremos tração; se for o lado voltado ao painel teremos compressão. Vou apresentar o valor e indicar compressão para o lado do painel. - Tensão de cisalhamento na superfície: a contribuição dominante é a da torção
. A componente de cisalhamento por esforço cortante transversal na superfície é desprezível ( no centro e ~0 na borda).
- Tensão normal (axial) devido à flexão:
-
No ponto
(periferia na direção perpendicular ao braço da flexão): - Tensão normal por flexão:
(porque a coordenada na direção de flexão é zero). - Tensão de cisalhamento por torção: mesma
.
- Tensão normal por flexão:
Passo 6
Resumo numérico final (valores arredondados com duas casas decimais em MPa):
- Módulo da tensão normal por flexão:
- Módulo da tensão de cisalhamento por torção na superfície:
- Máxima cisalha por esforço cortante transversal (no centro da seção):
(pequena e desprezível na superfície).