14.68 Uma correia transportadora descarrega carvăo a taxa de
carvão descarregado é recebido no ponto
de uma segunda correia rolante que o descarrega novamente no ponto
. Sabendo que
e
e que a massa total da segunda correia, juntamente com o carvão que ela transporta, é de 472 kg , determine os componentes das reações em
e em
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes números da imagem):
- Taxa de descarga (taxa de massa):
. - Velocidade do carvão antes de entrar na segunda correia (para a direita, horizontal):
. - Velocidade do carvão sobre a segunda correia (ao longo da correia inclinada):
. - Massa total da segunda correia com o carvão que ela transporta:
. Logo o peso é . - Geometria (peguei da imagem):
- Distância horizontal do ponto de aplicação do peso (ponto
) ao suporte : . - Distância horizontal do suporte
ao suporte : . - Posição do ponto
(onde o carvão cai sobre a segunda correia): medida a partir da polia esquerda, e assumi que a polia esquerda está praticamente sobre na horizontal (conforme a figura), portanto a partir de . - Altura da polia esquerda sobre a base:
. Altura em : . Assim a elevação entre a polia esquerda e é ao longo de um avanço horizontal total de (peguei e da imagem). Com isso, a altura de acima da base fica .
- Distância horizontal do ponto de aplicação do peso (ponto
- O que o problema pede: determinar as componentes das reações em
e em . Pela figura, é pino (tem e ) e é apoio tipo rolete (apenas ). Portanto as reações a encontrar são .
Passo 2
Estratégia física (explicação didática do que vamos usar):
Quando o carvão passa da primeira correia para a segunda, sua velocidade muda de vetor
(horizontal) para
(ao longo da correia inclinada). A correia deve fornecer a força necessária para mudar essa quantidade de movimento. Em regime permanente com taxa de massa
, a força média necessária para acelerar o fluxo é
onde o sinal está assim porque a massa exerce sobre a correia a reação igual e oposta à força que a correia aplica sobre a massa (pela 3ª lei de Newton). Essa força é aplicada essencialmente no ponto
(local da transferência). Além disso, há o peso da correia e do carvão (
) aplicado em
. As reações nos apoios
e
equilibrarão a soma dessas forças e os momentos resultantes.
Explicação de como montar as equações:
- Equilíbrio das forças na horizontal:
. - Equilíbrio das forças na vertical:
. - Equilíbrio dos momentos (escolho momentos em torno de
para eliminar das equações): . Usarei a fórmula do momento de uma força em 2D: para uma força aplicada no ponto sobre a origem , o momento escalar em torno de é
Isso automaticamente leva em conta o efeito tanto das componentes horizontal quanto vertical da força.
Passo 3
Calcular o ângulo da correia (para resolver componentes de
) e a altura de
.
- Elevação total da correia da polia esquerda até
: . - Avanço horizontal total:
. - Assim
. Logo
- Altura do ponto
sobre a base (já calculada no passo 1):
Passo 4
Resolver as componentes das velocidades (vou escrever tudo em vetores e componentes):
- Vetor velocidade inicial (horizontal para a direita):
- Vetor velocidade sobre a correia (direção inclinada, componente horizontal e vertical):
Com
e
, obtemos
Passo 5
Calcular a força produzida pelo fluxo de massa sobre a correia (reação que o carvão exerce sobre a correia no ponto
):
- Diferença vetorial
:
- Multiplicando por
:
Interpretação: o carvão exerce sobre a correia uma força de aproximadamente
para a esquerda (componente
negativa) e
para baixo (componente
negativa). Pela 3ª lei, a correia exerce sobre o carvão a força oposta.
Passo 6
Calcular o peso
da correia + carvão e a soma das forças verticais que os apoios devem suportar:
- Peso:
- Soma das forças verticais de reação exigidas em
e , tomando para cima positivo:
Aqui
(para baixo). Rearranjando:
(esse é o total de reação vertical que
e
devem fornecer).
Passo 7
Equilíbrio de momentos em torno de
para obter
. Uso a fórmula do momento para cada força (origem em
):
- Força peso em
(aplicada em , vertical para baixo): momento escalar
(negativo = momento horário se tomarmos sentido anti‑horário positivo).
- Força do fluxo em
aplicada em : momento
Substituindo
e
:
(Este é um pequeno momento no sentido anti‑horário).
- Reação
aplicada em fornece momento (positivo se for para cima).
Somando momentos em torno de
(somatório = 0):
Assim
Passo 8
Determinar
e
a partir das equações de equilíbrio translacional:
- Da soma vertical (passo 6):
- Soma das forças horizontais: somente
e atuam horizontalmente (assumindo sem reação horizontal). Tomando para a direita positivo:
Como
(esquerda), tem-se