14.68 Uma correia transportadora descarrega carvăo a taxa de 120 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} . \mathrm{O} carvão descarregado é recebido no ponto A de uma segunda correia rolante que o descarrega novamente no ponto B. Sabendo que v_{1}= 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e v_{2}=4,25 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e que a massa total da segunda correia, juntamente com o carvão que ela transporta, é de 472 kg , determine os componentes das reações em C e em D.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes números da imagem):
  • Taxa de descarga (taxa de massa): \dot m = 120\\ \mathrm{kg/s}.
  • Velocidade do carvão antes de entrar na segunda correia (para a direita, horizontal): \,v_1 = 3{,}00\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade do carvão sobre a segunda correia (ao longo da correia inclinada): \,v_2 = 4{,}25\\ \mathrm{m/s}.
  • Massa total da segunda correia com o carvão que ela transporta: m = 472\\ \mathrm{kg}. Logo o peso é W = m g = 472(9{,}81)\\ \mathrm{N}.
  • Geometria (peguei da imagem):
    • Distância horizontal do ponto de aplicação do peso (ponto G) ao suporte C: x_G = 1{,}80\\ \mathrm{m}.
    • Distância horizontal do suporte C ao suporte D: x_D = 1{,}80 + 1{,}20 = 3{,}00\\ \mathrm{m}.
    • Posição do ponto A (onde o carvão cai sobre a segunda correia): x_A = 0{,}75\\ \mathrm{m} medida a partir da polia esquerda, e assumi que a polia esquerda está praticamente sobre C na horizontal (conforme a figura), portanto x_A = 0{,}75\\ \mathrm{m} a partir de C.
    • Altura da polia esquerda sobre a base: 1{,}20\\ \mathrm{m}. Altura em B: 2{,}40\\ \mathrm{m}. Assim a elevação entre a polia esquerda e B é 1{,}20\\ \mathrm{m} ao longo de um avanço horizontal total de 0{,}75+2{,}25=3{,}00\\ \mathrm{m} (peguei 0{,}75 e 2{,}25 da imagem). Com isso, a altura de A acima da base fica \,y_A=1{,}20+(1{,}20/3{,}00)\cdot0{,}75 = 1{,}50\\ \mathrm{m}.
  • O que o problema pede: determinar as componentes das reações em C e em D. Pela figura, C é pino (tem C_x e C_y) e D é apoio tipo rolete (apenas D_y). Portanto as reações a encontrar são C_x,\;C_y,\;D_y.

Passo 2

Estratégia física (explicação didática do que vamos usar):
Quando o carvão passa da primeira correia para a segunda, sua velocidade muda de vetor \mathbf{v}_1 (horizontal) para \mathbf{v}_2 (ao longo da correia inclinada). A correia deve fornecer a força necessária para mudar essa quantidade de movimento. Em regime permanente com taxa de massa \dot m, a força média necessária para acelerar o fluxo é
\mathbf{F}_{\text{fluxo}} = \dot m(\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2),
onde o sinal está assim porque a massa exerce sobre a correia a reação igual e oposta à força que a correia aplica sobre a massa (pela 3ª lei de Newton). Essa força é aplicada essencialmente no ponto A (local da transferência). Além disso, há o peso da correia e do carvão ( W) aplicado em G. As reações nos apoios C e D equilibrarão a soma dessas forças e os momentos resultantes.
Explicação de como montar as equações:
  • Equilíbrio das forças na horizontal: \sum F_x = 0.
  • Equilíbrio das forças na vertical: \sum F_y = 0.
  • Equilíbrio dos momentos (escolho momentos em torno de C para eliminar C_x,C_y das equações): \sum M_C = 0. Usarei a fórmula do momento de uma força em 2D: para uma força \mathbf{F}=(F_x,F_y) aplicada no ponto (x,y) sobre a origem C, o momento escalar em torno de C é
M = x F_y - y F_x.
Isso automaticamente leva em conta o efeito tanto das componentes horizontal quanto vertical da força.

Passo 3

Calcular o ângulo da correia (para resolver componentes de \mathbf{v}_2) e a altura de A.
  • Elevação total da correia da polia esquerda até B: \Delta y = 2{,}40 - 1{,}20 = 1{,}20\\ \mathrm{m}.
  • Avanço horizontal total: \Delta x = 3{,}00\\ \mathrm{m}.
  • Assim \tan\theta = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{1{,}20}{3{,}00} = 0{,}4. Logo
\theta = \arctan(0{,}4)\approx 21{,}80^\circ.
  • Altura do ponto A sobre a base (já calculada no passo 1):
y_A = 1{,}50\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Resolver as componentes das velocidades (vou escrever tudo em vetores e componentes):
  • Vetor velocidade inicial (horizontal para a direita):
\mathbf{v}_1 = (v_1,\,0) = (3{,}00,\;0)\\ \mathrm{m/s}.
  • Vetor velocidade sobre a correia (direção inclinada, componente horizontal e vertical):
\mathbf{v}_2 = (v_2\cos\theta,\; v_2\sin\theta).
Com \cos\theta = \dfrac{3{,}00}{\sqrt{3{,}00^2+1{,}20^2}} \approx 0{,}92848 e \sin\theta \approx 0{,}37139, obtemos
v_{2x}=4{,}25\cdot 0{,}92848 \approx 3{,}9460\\ \mathrm{m/s}, \qquad v_{2y}=4{,}25\cdot 0{,}37139 \approx 1{,}5788\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular a força produzida pelo fluxo de massa sobre a correia (reação que o carvão exerce sobre a correia no ponto A):
  • Diferença vetorial \mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2:
\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2 = (3{,}00-3{,}9460,\;0-1{,}5788) \approx (-0{,}9460,\;-1{,}5788)\\ \mathrm{m/s}.
  • Multiplicando por \dot m = 120\\ \mathrm{kg/s}:
\mathbf{F}_{\text{fluxo}} = \dot m(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2) \approx 120(-0{,}9460,\;-1{,}5788) \approx (-113{,}52,\;-189{,}46)\\ \mathrm{N}.
Interpretação: o carvão exerce sobre a correia uma força de aproximadamente 113{,}52\\ \mathrm{N} para a esquerda (componente x negativa) e 189{,}46\\ \mathrm{N} para baixo (componente y negativa). Pela 3ª lei, a correia exerce sobre o carvão a força oposta.

Passo 6

Calcular o peso W da correia + carvão e a soma das forças verticais que os apoios devem suportar:
  • Peso:
W = m g = 472\cdot 9{,}81 \approx 4\,630{,}32\\ \mathrm{N}\quad(\text{para baixo}).
  • Soma das forças verticais de reação exigidas em C e D, tomando para cima positivo:
C_y + D_y + (F_{\text{fluxo},y}) + (-W) = 0.
Aqui F_{\text{fluxo},y}\approx -189{,}46\\ \mathrm{N} (para baixo). Rearranjando:
C_y + D_y = W - F_{\text{fluxo},y} = 4\,630{,}32 + 189{,}46 = 4\,819{,}78\\ \mathrm{N}.
(esse é o total de reação vertical que C e D devem fornecer).

Passo 7

Equilíbrio de momentos em torno de C para obter D_y. Uso a fórmula do momento para cada força (origem em C):
  • Força peso em G (aplicada em x_G=1{,}80\\ \mathrm{m}, vertical para baixo): momento escalar
M_G = x_G\cdot(-W) - y_G\cdot 0 = -x_G W = -1{,}80\cdot 4\,630{,}32 \approx -8\,334{,}58\\ \mathrm{N\cdot m}.
(negativo = momento horário se tomarmos sentido anti‑horário positivo).
  • Força do fluxo em A aplicada em (x_A,y_A)=(0{,}75,\;1{,}50): momento
M_A = x_A F_{\text{fluxo},y} - y_A F_{\text{fluxo},x}.
Substituindo F_{\text{fluxo},x}\approx -113{,}52\\ \mathrm{N} e F_{\text{fluxo},y}\approx -189{,}46\\ \mathrm{N}:
M_A = 0{,}75(-189{,}46) - 1{,}50(-113{,}52) \approx -142{,}10 + 170{,}28 = 28{,}19\\ \mathrm{N\cdot m}.
(Este é um pequeno momento no sentido anti‑horário).
  • Reação D_y aplicada em x_D=3{,}00\\ \mathrm{m} fornece momento M_D = x_D D_y (positivo se D_y for para cima).
Somando momentos em torno de C (somatório = 0):
M_D + M_A + M_G = 0 \quad\Rightarrow\quad x_D D_y + M_A + M_G = 0.
Assim
D_y = -\dfrac{M_A + M_G}{x_D} = -\dfrac{28{,}19 + (-8\,334{,}58)}{3{,}00} = -\dfrac{-8\,306{,}39}{3{,}00} \approx 2\,768{,}79\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Determinar C_y e C_x a partir das equações de equilíbrio translacional:
  • Da soma vertical (passo 6):
C_y = 4\,819{,}78 - D_y \approx 4\,819{,}78 - 2\,768{,}79 \approx 2\,050{,}99\\ \mathrm{N}.
  • Soma das forças horizontais: somente C_x e F_{\text{fluxo},x} atuam horizontalmente (assumindo D sem reação horizontal). Tomando para a direita positivo:
C_x + F_{\text{fluxo},x} = 0 \quad\Rightarrow\quad C_x = -F_{\text{fluxo},x}.
Como F_{\text{fluxo},x}\approx -113{,}52\\ \mathrm{N} (esquerda), tem-se
C_x \approx 113{,}52\\ \mathrm{N}\quad(\text{para a direita}).

Resposta

C_x = 113{,}5\\ \mathrm{N}
C_y = 2\,051{,}0\\ \mathrm{N}
D_y = 2\,768{,}8\\ \mathrm{N}

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