Quais forças indutivas e de superfície vão atuar em: (a) um fluido em repouso, (b) um fluido em escoamento?
Passo 1
O enunciado pede para identificar quais são as “forças indutivas” e as “forças de superfície” que atuam em dois casos distintos:
- (a) um fluido em repouso;
- (b) um fluido em escoamento.
Informações dadas: nenhum dado numérico ou figura — apenas a pergunta conceitual.
O objetivo é listar e explicar, de forma didática, quais forças agem em cada caso e como elas aparecem nas equações fundamentais da mecânica dos fluidos.
O objetivo é listar e explicar, de forma didática, quais forças agem em cada caso e como elas aparecem nas equações fundamentais da mecânica dos fluidos.
Passo 2
Primeiro vamos definir claramente os dois tipos de força que o enunciado menciona, com palavras simples e exemplos.
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Forças de volume (também chamadas aqui de “forças indutivas”): são forças que atuam sobre todo o volume do fluido, ou seja, sobre cada pequena partícula de fluido. Elas são normalmente expressas como uma densidade de força por unidade de volume, que chamaremos de
(unidade: força por volume). Exemplos típicos: - Gravidade:
, onde é a densidade do fluido e é o vetor aceleração da gravidade. - Forças eletromagnéticas (quando o fluido é condutor ou carregado): densidade
. - Forças inerciais aparente em referência não-inercial (Coriolis, centrífuga) quando se usa um referencial rotativo — também tratadas como forças de volume na equação de movimento.
- Gravidade:
-
Forças de superfície: agem sobre superfícies que limitam um elemento de fluido — por exemplo a pressão exercida pelas moléculas vizinhas ou as tensões viscosas (cortes) sobre uma face do elemento de fluido. Em mecânica de meios contínuos chamamos a força por unidade de área de “tracção”
. A relação fundamental de Cauchy diz: ondeé o tensor de tensões (stress tensor) e é a normal à face considerada. O tensor de tensões pode ser decomposto genericamente como onde:-
é a pressão (age como uma força normal compressiva), -
é o tensor identidade, -
é o tensor de tensões viscoelásticas (em fluidos newtonianos, corresponde às tensões viscosas que geram forças de cisalhamento).
-
Explicando em miúdos: a pressão é uma força de superfície normal; a viscosidade gera forças de superfície tangenciais (cisalhamento). As forças de volume atuam “por dentro” do fluido (como a gravidade).
Passo 3
Agora aplicamos isso ao caso (a): fluido em repouso.
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Em repouso a velocidade é nula:
. Não há deformação em curso, logo num fluido newtoniano em repouso as tensões de cisalhamento são nulas, isto é Assim o tensor de tensões reduz-se aConsequência prática: a única força de superfície que atua sobre qualquer face do fluido é a pressão, que age sempre na direção normal à superfície e com intensidadepor unidade de área. -
Forças de volume que atuam em repouso: as mesmas que existem em geral. O exemplo universal é a gravidade, com densidade de força
. Se houver campos eletromagnéticos, aparecem forças de volume correspondentes. Em um referencial acelerado, aparecem forças inerciais aparentes (por exemplo, força centrífuga) também como forças de volume. -
Equilíbrio estático (equação de equilíbrio): somando forças por unidade de volume em equilíbrio chega-se à equaçãoSubstituindo
obtemos a equação hidrostática ou sejaEm coordenada vertical, com , isso dá a forma familiar que explica por que a pressão aumenta com a profundidade. -
Efeito de tensão superficial: se existe uma interface livre (por exemplo água-ar) também aparece a força de tensão superficial, que age ao longo da linha de contato da interface. A tensão superficial não é uma força de superfície do mesmo tipo que pressão sobre uma face plana; ela aparece como condição de contorno sobre a interface e causa saltos de pressão normal dados pela Lei de Young–Laplace:onde
é a tensão superficial e a curvatura da interface. Mesmo em repouso isto pode ser importante (ex.: gotas, bolhas, menisco).
Resumo do caso (a) em linguagem direta: em repouso atuam forças de volume como
e forças de superfície puramente normais equivalentes à pressão
. Tensões de cisalhamento internas são nulas. Tensão superficial aparece somente nas interfaces livres.
Passo 4
Agora o caso (b): fluido em escoamento (movimento).
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Em escoamento aparecem todas as forças do caso estático (pressão e forças de volume) mais forças adicionais relaciondas ao movimento e à viscosidade.
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Equação de movimento (forma geral, por unidade de volume) — Navier–Stokes para um fluido newtoniano incompressível e com força de volume
: onde:-
é a densidade (massa por volume), -
é o campo velocidade (função do espaço e do tempo), -
representa a força inerciál por unidade de volume (massa aceleração), -
é a força associada a gradientes de pressão (força de superfície normal transformada em densidade de força), -
representa as forças viscosas (forças de superfície que, no continuum, aparecem como divergência do tensor viscoso) — é a forma para um fluido newtoniano e incompressível, -
é a força de volume da gravidade, -
são eventuais forças de volume extras (eletromagnéticas, forças de corpo inerciais em referencial não inercial, etc.).
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Interpretação física dos termos:
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: pressão causa forças que empurram o fluido de regiões de alta pressão para regiões de baixa pressão; é uma força de superfície convertida em termo volumétrico via divergência do tensor de tensões. -
: viscosidade cria tensões de cisalhamento entre camadas com velocidades diferentes; essas tensões de superfície resultam numa força volumétrica que, para fluxo laminar e fluido newtoniano, fica proporcional à laplaciana da velocidade. -
: termo inercial que representa as forças necessárias para acelerar a massa do fluido.
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Tensões na superfície livre durante o escoamento: a tensão superficial
continua a existir e influencia a condição de contorno na interface (salto de pressão normal e condição tangencial, que pode incluir gradientes de tensão superficial — efeito Marangoni — se variar ao longo da superfície). Em outras palavras, em escoamento também há forças de superfície associadas à pressão, às tensões viscosas (que agora normalmente não são nulas) e à tensão superficial na interface. -
Casos especiais:
- Escoamento invíscido (ideal,
): não há forças viscosas de superfície, restam e forças de volume; a equação reduz-se à equação de Euler: - Escoamento viscoso: além da pressão aparecem forças de cisalhamento tangenciais explicadas pelo tensor viscoso
. Para um fluido newtoniano incompressível: e a divergência desse tensor gera o termo na equação de movimento.
- Escoamento invíscido (ideal,
Passo 5
Lista prática e direta (para decorar e usar na prova):
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Forças de volume (indutivas) que podem atuar tanto em repouso quanto em escoamento:
- Gravidade:
. - Força eletromagnética por unidade de volume:
(se aplicável). - Forças inerciais aparentes em referência não inercial (Coriolis, centrífuga), tratadas como densidades de força.
- Qualquer outra força de corpo prescrita (por exemplo, forças por volume impostas).
- Gravidade:
-
Forças de superfície em um fluido em repouso:
- Pressão normal
(age perpendicularmente às superfícies). - Tensão superficial
nas interfaces (causa salto de pressão ). - Não há tensões de cisalhamento internas (
).
- Pressão normal
-
Forças de superfície em um fluido em escoamento:
- Pressão normal
(sempre presente). - Tensões viscosas (cisalhamento)
que geram forças tangenciais nas superfícies — aparecem na equação como para um fluido newtoniano incompressível. - Tensão superficial
nas interfaces, possivelmente com variação espacial (efeito Marangoni) durante o escoamento. - Além disso, gradientes de pressão e tensões viscosas combinam-se para produzir acelerações (termo inercial) conforme a equação de Navier–Stokes.
- Pressão normal
Resposta
(a) Forças indutivas (de volume): principalmente a gravidade
(e, se aplicável, forças eletromagnéticas ou forças inerciais em referenciais não inerciais). Forças de superfície: apenas a pressão
(normal) sobre as faces; tensões de cisalhamento internas são nulas (
); tensão superficial
atua em interfaces, causando salto de pressão
.
(b) Forças indutivas (de volume): mesmas do caso (a) — ,
, forças inerciais aparentes, etc. Forças de superfície: pressão
(normal) e tensões viscosas de cisalhamento
(que, para fluido newtoniano incompressível, dão o termo
nas equações); além disso tensão superficial
em interfaces (com possíveis efeitos de gradiente de
).
(b) Forças indutivas (de volume): mesmas do caso (a) —