Quais forças indutivas e de superfície vão atuar em: (a) um fluido em repouso, (b) um fluido em escoamento?

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais são as “forças indutivas” e as “forças de superfície” que atuam em dois casos distintos:
  • (a) um fluido em repouso;
  • (b) um fluido em escoamento.
Informações dadas: nenhum dado numérico ou figura — apenas a pergunta conceitual.
O objetivo é listar e explicar, de forma didática, quais forças agem em cada caso e como elas aparecem nas equações fundamentais da mecânica dos fluidos.

Passo 2

Primeiro vamos definir claramente os dois tipos de força que o enunciado menciona, com palavras simples e exemplos.
  • Forças de volume (também chamadas aqui de “forças indutivas”): são forças que atuam sobre todo o volume do fluido, ou seja, sobre cada pequena partícula de fluido. Elas são normalmente expressas como uma densidade de força por unidade de volume, que chamaremos de \mathbf{f} (unidade: força por volume). Exemplos típicos:
    • Gravidade: \rho\mathbf{g}, onde \rho é a densidade do fluido e \mathbf{g} é o vetor aceleração da gravidade.
    • Forças eletromagnéticas (quando o fluido é condutor ou carregado): densidade \mathbf{f}_{\text{EM}}.
    • Forças inerciais aparente em referência não-inercial (Coriolis, centrífuga) quando se usa um referencial rotativo — também tratadas como forças de volume na equação de movimento.
  • Forças de superfície: agem sobre superfícies que limitam um elemento de fluido — por exemplo a pressão exercida pelas moléculas vizinhas ou as tensões viscosas (cortes) sobre uma face do elemento de fluido. Em mecânica de meios contínuos chamamos a força por unidade de área de “tracção” \mathbf{t}. A relação fundamental de Cauchy diz:
    \mathbf{t}=\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n},
    onde \boldsymbol{\sigma} é o tensor de tensões (stress tensor) e \mathbf{n} é a normal à face considerada. O tensor de tensões pode ser decomposto genericamente como
    \boldsymbol{\sigma} = -p\,\mathbf{I} + \boldsymbol{\tau},
    onde:
    • p é a pressão (age como uma força normal compressiva),
    • \mathbf{I} é o tensor identidade,
    • \boldsymbol{\tau} é o tensor de tensões viscoelásticas (em fluidos newtonianos, corresponde às tensões viscosas que geram forças de cisalhamento).
Explicando em miúdos: a pressão é uma força de superfície normal; a viscosidade gera forças de superfície tangenciais (cisalhamento). As forças de volume atuam “por dentro” do fluido (como a gravidade).

Passo 3

Agora aplicamos isso ao caso (a): fluido em repouso.
  • Em repouso a velocidade é nula: \mathbf{u}=\mathbf{0}. Não há deformação em curso, logo num fluido newtoniano em repouso as tensões de cisalhamento são nulas, isto é
    \boldsymbol{\tau}=\mathbf{0}.
    Assim o tensor de tensões reduz-se a
    \boldsymbol{\sigma} = -p\,\mathbf{I}.
    Consequência prática: a única força de superfície que atua sobre qualquer face do fluido é a pressão, que age sempre na direção normal à superfície e com intensidade p por unidade de área.
  • Forças de volume que atuam em repouso: as mesmas que existem em geral. O exemplo universal é a gravidade, com densidade de força \rho\mathbf{g}. Se houver campos eletromagnéticos, aparecem forças de volume correspondentes. Em um referencial acelerado, aparecem forças inerciais aparentes (por exemplo, força centrífuga) também como forças de volume.
  • Equilíbrio estático (equação de equilíbrio): somando forças por unidade de volume em equilíbrio chega-se à equação
    \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} + \rho\mathbf{g} = \mathbf{0}.
    Substituindo \boldsymbol{\sigma}=-p\mathbf{I} obtemos a equação hidrostática
    -\nabla p + \rho\mathbf{g} = \mathbf{0},
    ou seja
    \nabla p = \rho\mathbf{g}.
    Em coordenada vertical z, com \mathbf{g}=-g\,\mathbf{k}, isso dá a forma familiar
    \frac{\partial p}{\partial z} = -\rho g,
    que explica por que a pressão aumenta com a profundidade.
  • Efeito de tensão superficial: se existe uma interface livre (por exemplo água-ar) também aparece a força de tensão superficial, que age ao longo da linha de contato da interface. A tensão superficial não é uma força de superfície do mesmo tipo que pressão sobre uma face plana; ela aparece como condição de contorno sobre a interface e causa saltos de pressão normal dados pela Lei de Young–Laplace:
    \Delta p = \gamma \kappa,
    onde \gamma é a tensão superficial e \kappa a curvatura da interface. Mesmo em repouso isto pode ser importante (ex.: gotas, bolhas, menisco).
Resumo do caso (a) em linguagem direta: em repouso atuam forças de volume como \rho\mathbf{g} e forças de superfície puramente normais equivalentes à pressão p. Tensões de cisalhamento internas são nulas. Tensão superficial aparece somente nas interfaces livres.

Passo 4

Agora o caso (b): fluido em escoamento (movimento).
  • Em escoamento aparecem todas as forças do caso estático (pressão e forças de volume) mais forças adicionais relaciondas ao movimento e à viscosidade.
  • Equação de movimento (forma geral, por unidade de volume) — Navier–Stokes para um fluido newtoniano incompressível e com força de volume \mathbf{f}:
    \rho\left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^{2}\mathbf{u} + \rho\mathbf{g} + \mathbf{f}_{\text{outros}},
    onde:
    • \rho é a densidade (massa por volume),
    • \mathbf{u} é o campo velocidade (função do espaço e do tempo),
    • \rho(\partial \mathbf{u}/\partial t + \mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u}) representa a força inerciál por unidade de volume (massa \times aceleração),
    • -\nabla p é a força associada a gradientes de pressão (força de superfície normal transformada em densidade de força),
    • \mu\nabla^{2}\mathbf{u} representa as forças viscosas (forças de superfície que, no continuum, aparecem como divergência do tensor viscoso) — é a forma para um fluido newtoniano e incompressível,
    • \rho\mathbf{g} é a força de volume da gravidade,
    • \mathbf{f}_{\text{outros}} são eventuais forças de volume extras (eletromagnéticas, forças de corpo inerciais em referencial não inercial, etc.).
  • Interpretação física dos termos:
    • -\nabla p: pressão causa forças que empurram o fluido de regiões de alta pressão para regiões de baixa pressão; é uma força de superfície convertida em termo volumétrico via divergência do tensor de tensões.
    • \mu\nabla^{2}\mathbf{u}: viscosidade cria tensões de cisalhamento entre camadas com velocidades diferentes; essas tensões de superfície resultam numa força volumétrica que, para fluxo laminar e fluido newtoniano, fica proporcional à laplaciana da velocidade.
    • \rho(\partial \mathbf{u}/\partial t + \mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u}): termo inercial que representa as forças necessárias para acelerar a massa do fluido.
  • Tensões na superfície livre durante o escoamento: a tensão superficial \gamma continua a existir e influencia a condição de contorno na interface (salto de pressão normal e condição tangencial, que pode incluir gradientes de tensão superficial — efeito Marangoni — se \gamma variar ao longo da superfície). Em outras palavras, em escoamento também há forças de superfície associadas à pressão, às tensões viscosas (que agora normalmente não são nulas) e à tensão superficial na interface.
  • Casos especiais:
    • Escoamento invíscido (ideal, \mu=0): não há forças viscosas de superfície, restam -\nabla p e forças de volume; a equação reduz-se à equação de Euler: \rho\left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u}\right) = -\nabla p + \rho\mathbf{g} + \mathbf{f}_{\text{outros}}.
    • Escoamento viscoso: além da pressão aparecem forças de cisalhamento tangenciais explicadas pelo tensor viscoso \boldsymbol{\tau}. Para um fluido newtoniano incompressível: \boldsymbol{\tau}=\mu\left(\nabla\mathbf{u} + (\nabla\mathbf{u})^{T}\right),e a divergência desse tensor gera o termo \mu\nabla^{2}\mathbf{u} na equação de movimento.

Passo 5

Lista prática e direta (para decorar e usar na prova):
  • Forças de volume (indutivas) que podem atuar tanto em repouso quanto em escoamento:
    • Gravidade: \rho\mathbf{g}.
    • Força eletromagnética por unidade de volume: \mathbf{f}_{\text{EM}} (se aplicável).
    • Forças inerciais aparentes em referência não inercial (Coriolis, centrífuga), tratadas como densidades de força.
    • Qualquer outra força de corpo prescrita (por exemplo, forças por volume impostas).
  • Forças de superfície em um fluido em repouso:
    • Pressão normal p (age perpendicularmente às superfícies).
    • Tensão superficial \gamma nas interfaces (causa salto de pressão \Delta p=\gamma\kappa).
    • Não há tensões de cisalhamento internas ( \boldsymbol{\tau}=\mathbf{0}).
  • Forças de superfície em um fluido em escoamento:
    • Pressão normal p (sempre presente).
    • Tensões viscosas (cisalhamento) \boldsymbol{\tau} que geram forças tangenciais nas superfícies — aparecem na equação como \mu\nabla^{2}\mathbf{u} para um fluido newtoniano incompressível.
    • Tensão superficial \gamma nas interfaces, possivelmente com variação espacial (efeito Marangoni) durante o escoamento.
    • Além disso, gradientes de pressão e tensões viscosas combinam-se para produzir acelerações (termo inercial) conforme a equação de Navier–Stokes.

Resposta

(a) Forças indutivas (de volume): principalmente a gravidade \rho\mathbf{g} (e, se aplicável, forças eletromagnéticas ou forças inerciais em referenciais não inerciais). Forças de superfície: apenas a pressão p (normal) sobre as faces; tensões de cisalhamento internas são nulas ( \boldsymbol{\tau}=\mathbf{0}); tensão superficial \gamma atua em interfaces, causando salto de pressão \Delta p=\gamma\kappa.
(b) Forças indutivas (de volume): mesmas do caso (a) — \rho\mathbf{g}, \mathbf{f}_{\text{EM}}, forças inerciais aparentes, etc. Forças de superfície: pressão p (normal) e tensões viscosas de cisalhamento \boldsymbol{\tau} (que, para fluido newtoniano incompressível, dão o termo \mu\nabla^{2}\mathbf{u} nas equações); além disso tensão superficial \gamma em interfaces (com possíveis efeitos de gradiente de \gamma).

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