Resíduos radioativos (
) estão armazenados em um recipiente cilíndrico com raios interno e externo iguais a
e
. O calor é gerado volumetricamente dentro dos resíduos a uma taxa uniforme de
, e a superfície externa do recipiente é resfriada por convecção com
e
.
Obtenha uma expressão para a distribuição de temperatura,
, nos resíduos radioativos. Expresse o resultado em termos de
e
. (3,5 pontos)
Obtenha uma expressão para a distribuição de temperatura,
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados (vou listar direitinho para a gente não se perder):
- Condutividade térmica dos resíduos:
. - Raios do recipiente: raio interno
e raio externo . - Geração volumétrica uniforme de calor nos resíduos:
. - Superfície externa sujeita a convecção com coeficiente
e fluido a .
O que a questão pede: obter a expressão da distribuição radial de temperatura
“nos resíduos radioativos” e expressar o resultado em termos de
e
.
Interpretação adotada (compatível com o pedido de expressar em termos de e
): os resíduos formam um núcleo sólido cilíndrico até o raio
; a temperatura da superfície desse núcleo (na interface com o recipiente) é
. Queremos
para
(isto é, dentro do núcleo de resíduos).
Interpretação adotada (compatível com o pedido de expressar em termos de
Passo 2
Modelo físico e equação diferencial: processo em regime estacionário, simetria axial e circumferencial (não há variação em
nem em
), e geração volumétrica uniforme
. A equação diferencial de calor em coordenadas cilíndricas (só componente radial) para estado estacionário é:
Explicando essa equação: o primeiro termo vem da divergência do fluxo radial (lei de Fourier) e o segundo é a contribuição da geração interna por volume dividida pela condutividade, para que a soma seja zero em estado estacionário (energia gerada é conduzida radialmente).
Passo 3
Integração da equação diferencial — primeiro passo: multiplicando por
e integrando,
onde
é constante de integração. Dividindo por
(para
) obtemos
Passo 4
Integração final e condição de regularidade no centro: integrando novamente,
com constantes
. Agora olhar o comportamento em
: o termo
diverge quando
a menos que
. A temperatura física no centro deve ser finita, logo devemos ter
Assim a solução regular no centro simplifica para
Passo 5
Determinar
usando a condição de contorno na superfície do núcleo:
. Substituindo
na expressão:
Substituindo de volta na solução obtém-se a distribuição de temperatura em todo o núcleo
:
Observações didáticas rápidas: a forma acima é uma parábola negativa em
(temperatura máxima no centro
). O aumento de temperatura do centro em relação à superfície é
. Isso é útil para estimar aquecimento interno sem resolver a camada externa.