Resíduos radioativos ( k_{rw} = 20 W/mK) estão armazenados em um recipiente cilíndrico com raios interno e externo iguais a r_i = 0.5 m e r_0 = 0.6 m. O calor é gerado volumetricamente dentro dos resíduos a uma taxa uniforme de \dot{q} = 10^5 W/m^3, e a superfície externa do recipiente é resfriada por convecção com h = 1000 W/m^2K e T_\infty = 25°C.
Obtenha uma expressão para a distribuição de temperatura, T(r), nos resíduos radioativos. Expresse o resultado em termos de r_i, T_{s.i}, k_{rw} e \dot{q}. (3,5 pontos)

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (vou listar direitinho para a gente não se perder):
  • Condutividade térmica dos resíduos: k_{rw}=20\\ \mathrm{W/mK}.
  • Raios do recipiente: raio interno r_i=0{,}5\\ \mathrm{m} e raio externo r_0=0{,}6\\ \mathrm{m}.
  • Geração volumétrica uniforme de calor nos resíduos: \dot{q}=10^{5}\\ \mathrm{W/m^{3}}.
  • Superfície externa sujeita a convecção com coeficiente h=1000\\ \mathrm{W/m^{2}K} e fluido a T_\infty=25^\circ\mathrm{C}.
O que a questão pede: obter a expressão da distribuição radial de temperatura T(r) “nos resíduos radioativos” e expressar o resultado em termos de r_i,\;T_{s.i},\;k_{rw} e \dot{q}.
Interpretação adotada (compatível com o pedido de expressar em termos de T_{s.i} e r_i): os resíduos formam um núcleo sólido cilíndrico até o raio r_i; a temperatura da superfície desse núcleo (na interface com o recipiente) é T_{s.i}. Queremos T(r) para 0\le r\le r_i (isto é, dentro do núcleo de resíduos).

Passo 2

Modelo físico e equação diferencial: processo em regime estacionário, simetria axial e circumferencial (não há variação em \theta nem em z), e geração volumétrica uniforme \dot{q}. A equação diferencial de calor em coordenadas cilíndricas (só componente radial) para estado estacionário é:
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)+\frac{\dot{q}}{k_{rw}}=0.
Explicando essa equação: o primeiro termo vem da divergência do fluxo radial (lei de Fourier) e o segundo é a contribuição da geração interna por volume dividida pela condutividade, para que a soma seja zero em estado estacionário (energia gerada é conduzida radialmente).

Passo 3

Integração da equação diferencial — primeiro passo: multiplicando por r e integrando,
\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)=-\frac{\dot{q}}{k_{rw}}\,r
\Rightarrow r\frac{dT}{dr}=-\frac{\dot{q}}{2k_{rw}}\,r^{2}+C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. Dividindo por r (para r>0) obtemos
\frac{dT}{dr}=-\frac{\dot{q}}{2k_{rw}}\,r+\frac{C_{1}}{r}.

Passo 4

Integração final e condição de regularidade no centro: integrando novamente,
T(r)=-\frac{\dot{q}}{4k_{rw}}\,r^{2}+C_{1}\ln r + C_{2},
com constantes C_{1},C_{2}. Agora olhar o comportamento em r=0: o termo C_{1}\ln r diverge quando r\to0 a menos que C_{1}=0. A temperatura física no centro deve ser finita, logo devemos ter
C_{1}=0.
Assim a solução regular no centro simplifica para
T(r)=-\frac{\dot{q}}{4k_{rw}}\,r^{2}+C_{2}.

Passo 5

Determinar C_{2} usando a condição de contorno na superfície do núcleo: T(r_i)=T_{s.i}. Substituindo r=r_i na expressão:
T_{s.i}=-\frac{\dot{q}}{4k_{rw}}\,r_i^{2}+C_{2}
\Rightarrow C_{2}=T_{s.i}+\frac{\dot{q}}{4k_{rw}}\,r_i^{2}.
Substituindo de volta na solução obtém-se a distribuição de temperatura em todo o núcleo 0\le r\le r_i:
T(r)=T_{s.i}+\frac{\dot{q}}{4k_{rw}}\left(r_i^{2}-r^{2}\right).
Observações didáticas rápidas: a forma acima é uma parábola negativa em r (temperatura máxima no centro r=0). O aumento de temperatura do centro em relação à superfície é \Delta T = T(0)-T_{s.i} = \dfrac{\dot{q}\,r_i^{2}}{4k_{rw}}. Isso é útil para estimar aquecimento interno sem resolver a camada externa.

Resposta

T(r)=T_{s.i}+\frac{\dot{q}}{4\,k_{rw}}\bigl(r_i^{2}-r^{2}\bigr)

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