Quais das forças a seguir são conservativas? No caso de serem conservativas, determine a energia potencial U(r).
© F=ar r,
sendo a, b, c constantes.

Passo 1

Beleza, o enunciado é: “Temos a força
vec F(vec r)=ar,hat r
com vec F = -nabla U constante. A pergunta é se essa força é conservativa e, em caso afirmativo, achar a energia potencial .
Conteúdo: forças conservativas e energia potencial. Vamos precisar da definição de força conservativa (curl zero ou integral de linha independente do caminho) e da relação

Passo 2

Definição rápida: uma força é conservativa se num domínio simplesmente conectado, ou equivalentemente se existe tal que .
No nosso caso é puramente radial e depende só de . Em coordenadas esféricas esse tipo de força satisfaz automaticamente (para ), então ela é conservativa fora da origem.

Passo 3

Como -dUdr,hat r ;=;ar,hat r Longrightarrow dUdr=-ar , a relação U(r)=integral!-ar,dr=-aln(r)+C, vira
Integrando em :
onde é uma constante arbitrária de referência.

Resposta

A força é conservativa e a energia potencial associada é
boxedU(r)=-aln(r)+constante

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