Quais das forças a seguir são conservativas? No caso de serem conservativas, determine a energia potencial U(r).
(b) Fx=-z e^-x, Fy=log z, Fz=e^-x.

Passo 1

Beleza, vamos lá. A questão pede para a gente checar se o campo de forças
vec F(x,y,z) = l(Fx,,Fy,,Fzr) = l(-,z,e^-x,;ln z,;e^-xr)
é conservativo. Se for, temos de achar a energia potencial .
Matéria envolvida: cálculo vetorial, mais especificamente a ligação entre forças conservativas e o rotacional (curl).

Passo 2

Teoria rápida:
Uma força é conservativa se o trabalho não depende do caminho, só dos pontos de início e fim. Um jeito prático de checar isso é ver se
nabla times vec F = vec 0
Ou seja, o “rotacional” de tem de ser zero em toda a região onde a força está definida. Se não for zero, não dá pra achar potencial.

Passo 3

Vamos calcular nabla times vec F = l(partialy Fz - partialz Fy,; partialz Fx - partialx Fz,; partialx Fy - partialy Fxr) . Em componentes:
partialy Fz = partialyl(e^-xr)=0, partialz Fy = partialz(ln z)=1z,
  1. Componente (nabla times vec F)x = 0 - 1z = -1z :
partialz Fx = partialzl(-z,e^-xr) = -e^-x, partialx Fz = partialxl(e^-xr)= -e^-x,
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(nabla times vec F)y = -e^-x - (-e^-x) = 0
  1. Componente partialx Fy = partialx(ln z)=0, partialy Fx = partialyl(-z,e^-xr)=0, :
(nabla times vec F)z = 0 - 0 = 0
então
  1. Componente :
assim

Passo 4

Juntando:
nabla times vec F = l(-tfrac1z,;0,;0r),
que claramente não é zero para .

Resposta

O campo não é conservativo (porque ), logo não existe energia potencial bem definida para ele.

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