Forças \vec{P} e \vec{Q} são aplicadas a uma partícula de massa m. As magnitudes das forças são constantes, mas o ângulo \theta entre suas linhas de ação pode mudar, variando, portanto, a aceleração das partículas. Se a aceleração máxima possível é o triplo da mínima, qual o valor de \theta para alcançar uma aceleração que seja a média entre esses dois valores?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo tirado do próprio texto):
  • Há duas forças de módulos constantes P e Q aplicadas a uma partícula de massa m.
  • O ângulo entre as linhas de ação das forças é \theta e pode variar.
  • A aceleração da partícula muda conforme \theta varia; os valores extremo são a aceleração máxima e a mínima.
  • Foi informado que a aceleração máxima é o triplo da mínima, isto é \,a_{\max}=3a_{\min}.
    O que o problema pede:
  • Encontrar o valor de \theta para o qual a aceleração da partícula é a média aritmética entre a máxima e a mínima, isto é
a=\frac{a_{\max}+a_{\min}}{2}.

Passo 2

Vamos escrever a expressão do módulo da força resultante quando duas forças \vec{P} e \vec{Q} fazem ângulo \theta entre si.
A soma vetorial das forças tem módulo dado pela regra do paralelogramo (que é a lei dos cossenos aplicada a vetores):
R=\sqrt{P^{2}+Q^{2}+2PQ\cos\theta},
onde R é o módulo da força resultante. A aceleração da partícula vem da segunda lei de Newton:
a=\frac{R}{m}=\frac{1}{m}\sqrt{P^{2}+Q^{2}+2PQ\cos\theta}.
Observe que P e Q são os módulos das forças (números positivos) e \theta varia entre 0 e \pi.

Passo 3

Identificar os casos de aceleração máxima e mínima.
  • Para \theta=0 (forças paralelas e no mesmo sentido) tem-se a soma máxima de módulos:
R_{\max}=P+Q\quad\Rightarrow\quad a_{\max}=\frac{P+Q}{m}.
  • Para \theta=\pi (forças colineares e em sentidos opostos) tem-se a diferença de módulos:
R_{\min}=|P-Q|\quad\Rightarrow\quad a_{\min}=\frac{|P-Q|}{m}.
A condição do enunciado é \,a_{\max}=3a_{\min}. Substituindo:
\frac{P+Q}{m}=3\frac{|P-Q|}{m}\quad\Rightarrow\quad P+Q=3|P-Q|.

Passo 4

Resolver a equação P+Q=3|P-Q|. Há duas subcasos conforme quem é maior:
Caso A: P\ge Q. Então |P-Q|=P-Q e
P+Q=3(P-Q)\;\Rightarrow\;P+Q=3P-3Q\;\Rightarrow\;0=2P-4Q\;\Rightarrow\;P=2Q.
Caso B: P<Q. Então |P-Q|=Q-P e
P+Q=3(Q-P)\;\Rightarrow\;P+Q=3Q-3P\;\Rightarrow\;4P=2Q\;\Rightarrow\;P=\tfrac{1}{2}Q,
que é equivalente à troca P\leftrightarrow Q do caso A. Portanto, sem perda de generalidade podemos tomar o caso P\ge Q com a relação
P=2Q.

Passo 5

Agora impomos que a aceleração pedida seja a média aritmética entre a_{\max} e a_{\min}:
a=\frac{a_{\max}+a_{\min}}{2}.
Multiplicando por m isso equivale a pedir que o módulo da resultante seja a média dos extremos:
R=\frac{R_{\max}+R_{\min}}{2}.
No caso P\ge Q usamos R_{\max}=P+Q e R_{\min}=P-Q, então
R=\frac{(P+Q)+(P-Q)}{2}=\frac{2P}{2}=P.
Logo queremos que o resultado da soma vetorial tenha módulo P:
\sqrt{P^{2}+Q^{2}+2PQ\cos\theta}=P.

Passo 6

Resolver a equação obtida. Quadrando ambos os lados:
P^{2}+Q^{2}+2PQ\cos\theta=P^{2}\quad\Rightarrow\quad Q^{2}+2PQ\cos\theta=0.
Isolando \cos\theta:
\cos\theta=-\frac{Q^{2}}{2PQ}=-\frac{Q}{2P}.
Usando a relação encontrada em

Passo 7

\cos\theta=-\frac{Q}{2(2Q)}=-\frac{1}{4}.

Passo 8

Portanto o ângulo pedido é
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(-\tfrac{1}{4}\right).
Em forma numérica isso dá, aproximando,
\theta\approx 104,48^\circ\quad(\approx 1,8235\\ \text{rad}).

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\left(-\tfrac{1}{4}\right)\approx 104,48^\circ

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