Forças
e
são aplicadas a uma partícula de massa m. As magnitudes das forças são constantes, mas o ângulo
entre suas linhas de ação pode mudar, variando, portanto, a aceleração das partículas. Se a aceleração máxima possível é o triplo da mínima, qual o valor de
para alcançar uma aceleração que seja a média entre esses dois valores?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo tirado do próprio texto):
- Há duas forças de módulos constantes
e aplicadas a uma partícula de massa . - O ângulo entre as linhas de ação das forças é
e pode variar. - A aceleração da partícula muda conforme
varia; os valores extremo são a aceleração máxima e a mínima. - Foi informado que a aceleração máxima é o triplo da mínima, isto é
.
O que o problema pede: - Encontrar o valor de
para o qual a aceleração da partícula é a média aritmética entre a máxima e a mínima, isto é
Passo 2
Vamos escrever a expressão do módulo da força resultante quando duas forças
e
fazem ângulo
entre si.
A soma vetorial das forças tem módulo dado pela regra do paralelogramo (que é a lei dos cossenos aplicada a vetores):
onde
é o módulo da força resultante. A aceleração da partícula vem da segunda lei de Newton:
Observe que
e
são os módulos das forças (números positivos) e
varia entre
e
.
Passo 3
Identificar os casos de aceleração máxima e mínima.
- Para
(forças paralelas e no mesmo sentido) tem-se a soma máxima de módulos:
- Para
(forças colineares e em sentidos opostos) tem-se a diferença de módulos:
A condição do enunciado é
. Substituindo:
Passo 4
Resolver a equação
. Há duas subcasos conforme quem é maior:
Caso A:
. Então
e
Caso B:
. Então
e
que é equivalente à troca
do caso A. Portanto, sem perda de generalidade podemos tomar o caso
com a relação
Passo 5
Agora impomos que a aceleração pedida seja a média aritmética entre
e
:
Multiplicando por
isso equivale a pedir que o módulo da resultante seja a média dos extremos:
No caso
usamos
e
, então
Logo queremos que o resultado da soma vetorial tenha módulo
:
Passo 6
Resolver a equação obtida. Quadrando ambos os lados:
Isolando
:
Usando a relação encontrada em
Passo 7
Passo 8
Portanto o ângulo pedido é
Em forma numérica isso dá, aproximando,