Determine o vetor normal ao plano definido pelos vetores \vec{A}=(1,1,1) e \vec{B}=(1,0,-1). Verifique se esse vetor é único.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar um vetor normal ao plano definido pelos vetores \vec{A}=(1,1,1) e \vec{B}=(1,0,-1).
  • Verificar se esse vetor normal é único.
Informações dadas:
  • \vec{A}=(1,1,1).
  • \vec{B}=(1,0,-1).

Passo 2

O que significa "vetor normal ao plano definido por \vec{A} e \vec{B}"?
  • Um vetor normal ao plano formado por \vec{A} e \vec{B} é um vetor que é perpendicular (ortogonal) a ambos \vec{A} e \vec{B}.
  • A condição de perpendicularidade é expressa pelo produto escalar: se \vec{n} é normal, então \vec{n}\cdot\vec{A}=0 e \vec{n}\cdot\vec{B}=0.

Passo 3

Escolhendo um método prático: o produto vetorial (cross product) fornece diretamente um vetor que é perpendicular a dois vetores em \mathbb{R}^3. Vou usar esse método porque ele dá um vetor explícito que satisfaz as condições de ortogonalidade sem resolver um sistema linear.
Breve aula sobre o produto vetorial:
  • Para dois vetores \vec{U}=(U_x,U_y,U_z) e \vec{V}=(V_x,V_y,V_z), o produto vetorial \vec{U}\times\vec{V} é um vetor perpendicular a \vec{U} e a \vec{V}.
  • A fórmula (usando a expansão em determinante) é
\vec{U}\times\vec{V}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ U_x & U_y & U_z \\\ V_x & V_y & V_z \end{vmatrix},
onde \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são os vetores unitários nas direções x,y,z.
  • Em componentes, isso resulta em
\vec{U}\times\vec{V}=\big(U_yV_z-U_zV_y,\; U_zV_x-U_xV_z,\; U_xV_y-U_yV_x\big).

Passo 4

Aplicando a fórmula ao caso \vec{A}=(1,1,1) e \vec{B}=(1,0,-1).
Usando a forma em determinante:
\vec{A}\times\vec{B}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente (seguindo a fórmula de componentes):
  • Componente x:
(\vec{A}\times\vec{B})_x = A_y B_z - A_z B_y = 1\cdot(-1) - 1\cdot 0 = -1.
  • Componente y:
(\vec{A}\times\vec{B})_y = A_z B_x - A_x B_z = 1\cdot 1 - 1\cdot(-1) = 1 - (-1) = 2.
  • Componente z:
(\vec{A}\times\vec{B})_z = A_x B_y - A_y B_x = 1\cdot 0 - 1\cdot 1 = -1.
Portanto
\vec{A}\times\vec{B}=(-1,\,2,\,-1).

Passo 5

Verificação de que \vec{n}=(-1,2,-1) é realmente normal: calcular os produtos escalares com \vec{A} e \vec{B}.
Produto escalar com \vec{A}:
\vec{n}\cdot\vec{A}=(-1)\cdot 1 + 2\cdot 1 + (-1)\cdot 1 = -1+2-1=0.
Produto escalar com \vec{B}:
\vec{n}\cdot\vec{B}=(-1)\cdot 1 + 2\cdot 0 + (-1)\cdot(-1) = -1 + 0 + 1 = 0.
Como ambos produtos escalares são zero, \vec{n}=(-1,2,-1) é perpendicular a \vec{A} e a \vec{B}, logo é um vetor normal ao plano definido por eles.

Passo 6

Discussão sobre a unicidade do vetor normal:
  • Se \vec{n} é um vetor normal ao plano, qualquer múltiplo escalar \lambda\vec{n} (com \lambda\neq 0) também será normal, porque
(\lambda\vec{n})\cdot\vec{A}=\lambda(\vec{n}\cdot\vec{A})=\lambda\cdot 0=0
e idem para \vec{B}.
  • Portanto o vetor normal não é único como vetor: existe uma família infinita de vetores normais, todos os múltiplos não-nulos de \vec{n}.
  • Há apenas duas direções distintas de normalidade (opostas entre si): \vec{n} e -\vec{n}. Em termos de direção (ou reta através da origem) o normal é único, mas como vetor com magnitude e sentido é determinado apenas até multiplicação por escalar.
  • Observação adicional: se \vec{A} e \vec{B} fossem colineares (dependentes linearmente), o produto vetorial seria o vetor zero e não haveria um plano determinado por eles; nesse caso não existe um vetor normal bem definido ao “plano” (porque não há plano único). No nosso caso, \vec{A} e \vec{B} não são colineares, pois \vec{A}\times\vec{B}\neq\vec{0}.

Resposta

\vec{n}=(-1,\,2,\,-1) (um vetor normal ao plano).\newline
Não é único: quaisquer \lambda(-1,\,2,\,-1) com \lambda\neq0 são também vetores normais (direções opostas correspondem a \pm\vec{n}).

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