Determine o vetor normal ao plano definido pelos vetores \vec{A}=(1,1,1) e \vec{B}=(1,0,-1). Verifique se esse vetor é único.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Determinar um vetor normal ao plano definido pelos vetores \vec{A}=(1,1,1) e \vec{B}=(1,0,-1).
Verificar se esse vetor normal é único.
Informações dadas:
\vec{A}=(1,1,1).
\vec{B}=(1,0,-1).
Passo 2
O que significa "vetor normal ao plano definido por \vec{A} e \vec{B}"?
Um vetor normal ao plano formado por \vec{A} e \vec{B} é um vetor que é perpendicular (ortogonal) a ambos \vec{A} e \vec{B}.
A condição de perpendicularidade é expressa pelo produto escalar: se \vec{n} é normal, então \vec{n}\cdot\vec{A}=0 e \vec{n}\cdot\vec{B}=0.
Passo 3
Escolhendo um método prático: o produto vetorial (cross product) fornece diretamente um vetor que é perpendicular a dois vetores em \mathbb{R}^3. Vou usar esse método porque ele dá um vetor explícito que satisfaz as condições de ortogonalidade sem resolver um sistema linear.
Breve aula sobre o produto vetorial:
Para dois vetores \vec{U}=(U_x,U_y,U_z) e \vec{V}=(V_x,V_y,V_z), o produto vetorial \vec{U}\times\vec{V} é um vetor perpendicular a \vec{U} e a \vec{V}.
Portanto o vetor normal não é único como vetor: existe uma família infinita de vetores normais, todos os múltiplos não-nulos de \vec{n}.
Há apenas duas direções distintas de normalidade (opostas entre si): \vec{n} e -\vec{n}. Em termos de direção (ou reta através da origem) o normal é único, mas como vetor com magnitude e sentido é determinado apenas até multiplicação por escalar.
Observação adicional: se \vec{A} e \vec{B} fossem colineares (dependentes linearmente), o produto vetorial seria o vetor zero e não haveria um plano determinado por eles; nesse caso não existe um vetor normal bem definido ao “plano” (porque não há plano único). No nosso caso, \vec{A} e \vec{B} não são colineares, pois \vec{A}\times\vec{B}\neq\vec{0}.
Resposta
\vec{n}=(-1,\,2,\,-1) (um vetor normal ao plano).\newline
Não é único: quaisquer \lambda(-1,\,2,\,-1) com \lambda\neq0 são também vetores normais (direções opostas correspondem a \pm\vec{n}).