(Fórmula Integral de Cauchy) Calcule as seguintes integrais ao longo do contorno fechado
(Fonte: Arfken, Seção 6.4):
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de contorno
onde
é o círculo
. Informações relevantes fornecidas:
- O contorno é o círculo centrado na origem com raio
. - A função integranda é
. - Os pontos singulares (onde o denominador zera) são
e . - Verificação de posição relativa:
e , logo ambos os polos e estão dentro do contorno . - Não foi especificada a orientação; vou assumir a orientação positiva padrão (anti-horária).
Passo 2
Ideia-chave e uma fórmula útil (explicada didaticamente).
- Existe uma fórmula muito usada para integrais de funções da forma
ao redor de um contorno simples que contém :
desde que
seja analítica dentro de
. Essa é a forma simples da Fórmula Integral de Cauchy (para
). No caso especial
, obtemos
se
estiver dentro de
, e
se
estiver fora.
- Aqui a função é
. Uma forma prática de aplicar a fórmula acima é decompor por frações parciais em termos de e ; cada termo então se integra facilmente usando a fórmula anterior.
Passo 3
Decomposição em frações parciais (passo a passo).
Procuramos constantes e
tais que
Procuramos constantes
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Para achar
e
de forma direta, plugamos
e
:
- Se
: , logo
- Se
: , logo
Portanto a decomposição é
Passo 4
Integrando termo a termo usando a Fórmula de Cauchy para
.
Aplicando a integral ao longo de e integrando os dois termos separadamente:
Aplicando a integral ao longo de
Como já verificado no Passo 1, tanto
quanto
estão dentro de
. Usando
segue que
Passo 5
Cálculo final e interpretação.
Substituindo esses valores em obtemos
Substituindo esses valores em
Comentário extra (útil para a prova): a contribuição de cada polo é igual em módulo e com sinais opostos, por isso há cancelamento. Alternativamente, usando o Teorema dos Resíduos, os resíduos em
e em
são
e
, cuja soma é
; multiplicando por
dá o mesmo resultado
.