(Fórmula Integral de Cauchy) Calcule as seguintes integrais ao longo do contorno fechado |z|=2 (Fonte: Arfken, Seção 6.4):
\oint_{C} \frac{1}{z^{2}+1} d z

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de contorno
\oint_{C} \frac{1}{z^{2}+1}\,dz
onde C é o círculo |z|=2. Informações relevantes fornecidas:
  • O contorno é o círculo centrado na origem com raio 2.
  • A função integranda é \dfrac{1}{z^{2}+1}.
  • Os pontos singulares (onde o denominador zera) são z=i e z=-i.
  • Verificação de posição relativa: |i|=1<2 e |-i|=1<2, logo ambos os polos z=i e z=-i estão dentro do contorno |z|=2.
  • Não foi especificada a orientação; vou assumir a orientação positiva padrão (anti-horária).

Passo 2

Ideia-chave e uma fórmula útil (explicada didaticamente).
  • Existe uma fórmula muito usada para integrais de funções da forma \dfrac{f(z)}{z-a} ao redor de um contorno simples que contém a:
\oint_{C} \frac{f(z)}{z-a}\,dz = 2\pi i\, f(a),
desde que f seja analítica dentro de C. Essa é a forma simples da Fórmula Integral de Cauchy (para n=0). No caso especial f(z)\equiv 1, obtemos
\oint_{C} \frac{1}{z-a}\,dz = 2\pi i
se a estiver dentro de C, e 0 se a estiver fora.
  • Aqui a função é \dfrac{1}{z^{2}+1}=\dfrac{1}{(z-i)(z+i)}. Uma forma prática de aplicar a fórmula acima é decompor por frações parciais em termos de \dfrac{1}{z-i} e \dfrac{1}{z+i}; cada termo então se integra facilmente usando a fórmula anterior.

Passo 3

Decomposição em frações parciais (passo a passo).
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{z^{2}+1}=\frac{A}{z-i}+\frac{B}{z+i}.
Multiplicando ambos os lados por (z-i)(z+i) obtemos
1 = A(z+i)+B(z-i).
Para achar A e B de forma direta, plugamos z=i e z=-i:
  • Se z=i: 1 = A(i+i)=A(2i), logo
A=\frac{1}{2i}.
  • Se z=-i: 1 = B(-i - i)=B(-2i), logo
B=-\frac{1}{2i}.
Portanto a decomposição é
\frac{1}{z^{2}+1}=\frac{1}{2i}\,\frac{1}{z-i}-\frac{1}{2i}\,\frac{1}{z+i} =\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i}\right).

Passo 4

Integrando termo a termo usando a Fórmula de Cauchy para f\equiv1.
Aplicando a integral ao longo de C e integrando os dois termos separadamente:
\oint_{C}\frac{1}{z^{2}+1}\,dz =\frac{1}{2i}\left(\oint_{C}\frac{1}{z-i}\,dz-\oint_{C}\frac{1}{z+i}\,dz\right).
Como já verificado no Passo 1, tanto z=i quanto z=-i estão dentro de C. Usando
\oint_{C}\frac{1}{z-a}\,dz=2\pi i\quad\text{(quando \(a\) está dentro de \(C\))},á
segue que
\oint_{C}\frac{1}{z-i}\,dz = 2\pi i, \qquad \oint_{C}\frac{1}{z+i}\,dz = 2\pi i.

Passo 5

Cálculo final e interpretação.
Substituindo esses valores em \dfrac{1}{2i}\big(\,2\pi i - 2\pi i\,\big) obtemos
\oint_{C}\frac{1}{z^{2}+1}\,dz =\frac{1}{2i}\left(2\pi i - 2\pi i\right) =\frac{1}{2i}\cdot 0 =0.
Comentário extra (útil para a prova): a contribuição de cada polo é igual em módulo e com sinais opostos, por isso há cancelamento. Alternativamente, usando o Teorema dos Resíduos, os resíduos em i e em -i são \dfrac{1}{2i} e -\dfrac{1}{2i}, cuja soma é 0; multiplicando por 2\pi i dá o mesmo resultado 0.

Resposta

0

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