(Fórmula Integral de Cauchy) Calcule as seguintes integrais ao longo do contorno fechado |z|=2 (Fonte: Arfken, Seção 6.4):
\oint_{C} \frac{e^{z}}{z-1} d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
\oint_{C} \frac{e^{z}}{z-1}\,dz
onde C é o contorno fechado dado por |z|=2. Informações importantes fornecidas:
  • O contorno C é o círculo de raio 2 centrado na origem.
  • A função integranda é \dfrac{e^{z}}{z-1}.
  • Há uma singularidade em z=1 (denominador zero).
  • Observação sobre orientação: quando não é especificada, adota-se a orientação positiva (contra-horária). Vou assumir essa orientação padrão.

Passo 2

Apresentando a ferramenta principal: a Fórmula Integral de Cauchy (caso simples).
A versão que vamos usar é a seguinte:
\oint_{C}\frac{f(z)}{z-z_{0}}\,dz = 2\pi i\,f(z_{0})
sempre que:
  • C é uma curva simples fechada orientada positivamente,
  • f(z) é holomorfa (analítica) em um domínio que contém C e seu interior,
  • z_{0} está no interior de C.
Explicando cada peça de forma simples:
  • f(z) ser analítica significa que ela tem derivadas complexas em todos os pontos da região considerada — nada de buracos ou singularidades lá dentro.
  • z_{0} é o ponto onde aparece o termo (z-z_{0}) no denominador; a fórmula diz que a integral “pega” o valor de f nesse ponto e multiplica por 2\pi i.
  • A orientação positiva (contra-horária) é importante; se a orientação fosse negativa, o sinal mudaria.

Passo 3

Verificação das hipóteses para o nosso caso:
  • Tome f(z)=e^{z}. A função exponencial é inteira, ou seja, é analítica em todo o plano complexo (pode-se ver pela sua série de Taylor \displaystyle e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}).
  • O ponto z_{0}=1 é exatamente a singularidade indicada pelo denominador (z-1).
  • Verificar posição: |1|=1<2, portanto z_{0}=1 está dentro do círculo |z|=2.
    Assim, todas as hipóteses da fórmula de Cauchy estão satisfeitas.

Passo 4

Aplicando diretamente a Fórmula Integral de Cauchy:
  • Na nossa integral temos f(z)=e^{z} e z_{0}=1.
  • Logo,
\oint_{C}\frac{e^{z}}{z-1}\,dz = 2\pi i\,e^{1}.
Podemos simplificar escrevendo e^{1}=e, obtendo o valor final.

Passo 5

Comentário alternativo (intuição rápida via teoria dos resíduos):
  • A singularidade em z=1 é simples e o resíduo da função \dfrac{e^{z}}{z-1} em z=1 é \operatorname{Res}_{z=1} \dfrac{e^{z}}{z-1}=e^{1}=e.
  • Pelo Teorema dos Resíduos, a integral é 2\pi i vezes esse resíduo, chegando ao mesmo resultado.

Passo 6

Um exemplo rápido para fixar a ideia: se fosse \oint_{|z|=3}\dfrac{\sin z}{z-2}\,dz, como \sin z é inteira e 2 está dentro do círculo |z|=3, o resultado seria 2\pi i\sin 2. A mesma máquina da Fórmula de Cauchy funcionando.

Resposta

2\pi i e

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