(Fórmula Integral de Cauchy) Calcule as seguintes integrais ao longo do contorno fechado
(Fonte: Arfken, Seção 6.4):
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
onde
é o contorno fechado dado por
. Informações importantes fornecidas:
- O contorno
é o círculo de raio centrado na origem. - A função integranda é
. - Há uma singularidade em
(denominador zero). - Observação sobre orientação: quando não é especificada, adota-se a orientação positiva (contra-horária). Vou assumir essa orientação padrão.
Passo 2
Apresentando a ferramenta principal: a Fórmula Integral de Cauchy (caso simples).
A versão que vamos usar é a seguinte:
A versão que vamos usar é a seguinte:
sempre que:
-
é uma curva simples fechada orientada positivamente, -
é holomorfa (analítica) em um domínio que contém e seu interior, -
está no interior de .
Explicando cada peça de forma simples:
-
ser analítica significa que ela tem derivadas complexas em todos os pontos da região considerada — nada de buracos ou singularidades lá dentro. -
é o ponto onde aparece o termo no denominador; a fórmula diz que a integral “pega” o valor de nesse ponto e multiplica por . - A orientação positiva (contra-horária) é importante; se a orientação fosse negativa, o sinal mudaria.
Passo 3
Verificação das hipóteses para o nosso caso:
- Tome
. A função exponencial é inteira, ou seja, é analítica em todo o plano complexo (pode-se ver pela sua série de Taylor ). - O ponto
é exatamente a singularidade indicada pelo denominador . - Verificar posição:
, portanto está dentro do círculo .
Assim, todas as hipóteses da fórmula de Cauchy estão satisfeitas.
Passo 4
Aplicando diretamente a Fórmula Integral de Cauchy:
- Na nossa integral temos
e . - Logo,
Podemos simplificar escrevendo
, obtendo o valor final.
Passo 5
Comentário alternativo (intuição rápida via teoria dos resíduos):
- A singularidade em
é simples e o resíduo da função em é . - Pelo Teorema dos Resíduos, a integral é
vezes esse resíduo, chegando ao mesmo resultado.
Passo 6
Um exemplo rápido para fixar a ideia: se fosse
, como
é inteira e
está dentro do círculo
, o resultado seria
. A mesma máquina da Fórmula de Cauchy funcionando.