Uma formulação matemática da Primeira Lei da Termodinâmica é \Delta \mathrm{U}=\mathrm{q}+\mathrm{w}. Isso é válido para todos os processos. Suponha que o único tipo de trabalho realizado seja o trabalho pV . Mostre que \Delta \mathrm{U}=\mathrm{w} para um processo adiabático. Mostre que \Delta \mathrm{U}=0 para um processo em um sistema isolado. Mostre que \Delta \mathrm{U}= q para um processo que ocorre a volume constante. Mostre que \Delta \mathrm{H}=0 para um processo adiabático a pressão constante

Passo 1

O enunciado dá a Lei Primeira da Termodinâmica na forma
\Delta U = q + w
e diz que o único trabalho possível é trabalho pV. As perguntas que precisamos responder são:
  1. Mostrar que, para um processo adiabático, \Delta U = w.
  2. Mostrar que, para um processo em um sistema isolado, \Delta U = 0.
  3. Mostrar que, para um processo que ocorre a volume constante, \Delta U = q.
  4. Mostrar que, para um processo adiabático a pressão constante, \Delta H = 0.
Informações dadas e pressupostos relevantes (listadas sem resolver ainda):
  • A equação básica é \Delta U = q + w.
  • Só existe trabalho do tipo pV (ou seja, trabalho devido a variação de volume).
  • Não foram fornecidos detalhes sobre reversibilidade, então quando necessário para relacionar o trabalho com a variação de volume usaremos a fórmula geral do trabalho pV com pressão externa p_{\text{ext}}.

Passo 2

Entendendo sinais e a expressão do trabalho pV (aula rápida e necessária).
  • Convenção de sinais usada aqui: q é o calor trocado com o sistema (positivo quando entra no sistema) e w é o trabalho feito sobre o sistema (positivo quando o trabalho é realizado sobre o sistema). Essa convenção é compatível com a forma \Delta U = q + w.
  • Trabalho pV: um elemento infinitesimal de trabalho associado à variação de volume é dado por
\delta w = -p_{\text{ext}}\,dV,
onde p_{\text{ext}} é a pressão externa que age sobre a fronteira do sistema. Explicação do sinal negativo: se o sistema expande ( dV>0) ele realiza trabalho sobre as redondezas, portanto o trabalho feito SOBRE o sistema é negativo; se o sistema é comprimido ( dV<0) o trabalho sobre o sistema é positivo.
  • O trabalho total entre volumes inicial V_i e final V_f é
w = \int_{V_i}^{V_f} \delta w = -\int_{V_i}^{V_f} p_{\text{ext}}\,dV.
Isso vale independentemente de reversibilidade; para o caso reversível p_{\text{ext}}=p (pressão do sistema), para casos irreversíveis p_{\text{ext}} pode ser diferente.

Passo 3

Mostrando que, para um processo adiabático, \Delta U = w.
  • Definição de processo adiabático: não há troca de calor entre sistema e ambiente, ou seja q=0.
  • Inserindo q=0 na Lei Primeira \Delta U = q + w temos imediatamente
\Delta U = 0 + w,
logo
\Delta U = w.
Comentário didático: é direto — “adiabático” significa sem calor, então toda variação de energia interna vem do trabalho realizado sobre (ou pelo) o sistema.

Passo 4

Mostrando que, para um processo em um sistema isolado, \Delta U = 0.
  • Definição de sistema isolado: não troca nem calor nem trabalho nem massa com o entorno. Portanto q=0 e w=0.
  • Inserindo na Lei Primeira:
\Delta U = q + w = 0 + 0 = 0.
Comentário didático: num sistema isolado a energia interna permanece constante porque não entra nem sai energia.

Passo 5

Mostrando que, para um processo a volume constante, \Delta U = q.
  • Em um processo a volume constante temos V_f - V_i = \Delta V = 0. Usando a expressão do trabalho pV,
w = -\int_{V_i}^{V_f} p_{\text{ext}}\,dV = -\int_{V_i}^{V_i} p_{\text{ext}}\,dV = 0.
  • Substituindo na Lei Primeira:
\Delta U = q + w = q + 0,
logo
\Delta U = q.
Comentário didático: a variação de energia interna num processo isocórico (volume constante) é igual ao calor trocado com o sistema — por isso muitas calorimetrias medem \Delta U em calorímetros de volume fixo.

Passo 6

Mostrando que, para um processo adiabático a pressão constante, \Delta H = 0.
  • Primeiro, definição de entalpia:
H \equiv U + PV.
É uma função de estado útil quando lidamos com processos a pressão constante.
  • Variação de entalpia:
\Delta H = \Delta U + \Delta(PV).
  • Se a pressão do processo é constante igual a p, então
\Delta(PV) = p\,\Delta V.
  • Agora use que o processo é adiabático, logo q=0. Pela Lei Primeira,
\Delta U = w = -\int_{V_i}^{V_f} p_{\text{ext}}\,dV.
Para um processo realizado à pressão constante e considerando que o único trabalho é pV, temos p_{\text{ext}}=p (a pressão externa é essa constante p), então
\Delta U = -\int_{V_i}^{V_f} p\,dV = -p\int_{V_i}^{V_f} dV = -p\,\Delta V.
  • Inserindo em \Delta H:
\Delta H = \Delta U + p\,\Delta V = (-p\,\Delta V) + p\,\Delta V = 0.
Comentários didáticos e observações:
  • A igualdade \Delta H = 0 vale sempre que o processo for adiabático ( q=0), o trabalho for apenas pV e o processo ocorra à pressão constante (de modo que p_{\text{ext}}=p e p\,\Delta V seja a variação de PV). Não é preciso assumir reversibilidade além do que foi usado para igualar p_{\text{ext}} a p (ou seja, considerar que a pressão externa que realiza o trabalho é essa pressão constante).
  • Alternativamente, muitas vezes se usa a relação para processos à pressão constante: q_p = \Delta H. Se o processo é adiabático, q_p=0, então \Delta H=0. Ambas as formas são consistentes.

Resposta

\Delta U = w (processo adiabático)
\Delta U = 0 (sistema isolado)
\Delta U = q (processo a volume constante)
\Delta H = 0 (processo adiabático a pressão constante)

Exercícios relacionados