Um fóton com comprimento de onda 918,5 \mathrm{~nm} é absorvido em um semicondutor criando um par elétron-lacuna. Suponha houve a energia dissipada de 0,27 \mathrm{eV} devido à relaxação térmica do elétron até a base da banda de condução e da lacuna até o topo da banda de valência, antes da recombinação. Qual é a largura da banda proibida (band gap) do semicondutor em eV?
R: 1,08 \mathrm{eV}

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (peguei estes números do enunciado):
  • Comprimento de onda do fóton: \lambda = 918,5\\ \mathrm{nm}.
  • Energia dissipada por relaxação térmica antes da recombinação: E_{\mathrm{relax}} = 0,27\\ \mathrm{eV}.
  • Pergunta: qual é a largura da banda proibida E_g do semicondutor, em \mathrm{eV}?

Passo 2

Conceito físico essencial (explicação didática): quando um fóton é absorvido e cria um par elétron-lacuna, a energia do fóton vai para duas coisas principais:
  1. Colocar o elétron na base da banda de condução e a lacuna no topo da banda de valência — isso exige exatamente a energia da band gap E_g.
  2. Qualquer energia extra pode ser dissipada como calor (relaxação térmica) antes da recombinação; essa energia dissipada é E_{\mathrm{relax}}.
Portanto, pela conservação de energia, a energia do fóton E_{\mathrm{ph}} satisfaz:
E_{\mathrm{ph}} = E_g + E_{\mathrm{relax}}.
Das variáveis:
  • E_{\mathrm{ph}} = energia do fóton (em \mathrm{eV}).
  • E_g = largura da banda proibida que queremos (em \mathrm{eV}).
  • E_{\mathrm{relax}} = energia dissipada por relaxação (em \mathrm{eV}), dada no enunciado.
Logo, isolando E_g:
E_g = E_{\mathrm{ph}} - E_{\mathrm{relax}}.

Passo 3

Como calcular E_{\mathrm{ph}} a partir do comprimento de onda \lambda: usa-se a relação da física quântica
E_{\mathrm{ph}} = \frac{h c}{\lambda},
onde:
  • h é a constante de Planck ( h \approx 6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}),
  • c é a velocidade da luz ( c \approx 3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}),
  • \lambda é o comprimento de onda (em metros se h e c estiverem em SI).
Para evitar conversões trabalhosa de joules para elétron-volt, usa-se o produto h c em unidades convenientes: h c \approx 1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}. Isso significa que, com \lambda em \mathrm{nm}, basta fazer
E_{\mathrm{ph}} = \frac{1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}}{\lambda\\ (\mathrm{nm})}.
Agora substituindo \lambda = 918,5\\ \mathrm{nm}:
E_{\mathrm{ph}} = \frac{1240}{918,5}\\ \mathrm{eV} = 1,3495\\ \mathrm{eV}\quad(\text{aprox.}).

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do Passo 2 para obter E_g:
E_g = E_{\mathrm{ph}} - E_{\mathrm{relax}}.
Substituindo os valores calculados e fornecidos:
E_g = 1,3495\\ \mathrm{eV} - 0,27\\ \mathrm{eV} = 1,0795\\ \mathrm{eV}.
Arredondando de forma apropriada (os dados têm duas ou três casas significativas), apresentamos:
E_g \approx 1,08\\ \mathrm{eV}.
Dica prática para prova: decorar h c \approx 1240\\ \mathrm{eV\cdot nm} torna esse tipo de cálculo muito rápido — basta dividir 1240 pelo comprimento de onda em nm e subtrair as perdas.

Resposta

1,08\\ \mathrm{eV}

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