Um cubo de silício intrínseco ( \mathrm{ni}=1 \times 10^{16} \mathrm{~m}^{-3} ) com 10 mm de lado é dopado simultaneamente com 1 \times 10^{19} \mathrm{~m}^{-3} átomos de Ga e 1,5 \times 10^{19} \mathrm{~m}^{-3} átomos de As . Responda/calcule:
a) o semicondutor extrínseco formado é do tipo P ou tipo N ? tipo N
b) Calcule a condutividade elétrica do cubo a 300 K . Considere a mobilidade dos elétrons 0,140 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{V}. s e das lacunas 0,05 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{V} . \mathrm{s} Verifique a contribuição dos portadores minoritários na condutividade, e confirme se pode ser desprezada. \mathrm{R}: \sigma=0,112(\Omega \mathrm{~m})^{-1}
c) Calcule a resistência elétrica entre duas faces deste cubo. R=893 \Omega

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede as três coisas indicadas:
  • Densidade intrínseca: n_i = 1\times10^{16}\\ \mathrm{m}^{-3}.
  • Dopagem por aceitadores (Ga): N_A = 1\times10^{19}\\ \mathrm{m}^{-3}.
  • Dopagem por doadores (As): N_D = 1{,}5\times10^{19}\\ \mathrm{m}^{-3}.
  • Cubo de silício com aresta L = 10\\ \mathrm{mm} = 0{,}01\\ \mathrm{m}.
  • Mobilidades: \mu_n = 0{,}140\\ \mathrm{m}^2\!/\mathrm{V\,s} (elétrons) e \mu_p = 0{,}05\\ \mathrm{m}^2\!/\mathrm{V\,s} (lacunas).
  • Constante de carga do elétron: q = 1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C} (usada para cálculo da condutividade).
Perguntas:
(a) Que tipo de semicondutor extrínseco é formado: P ou N?
(b) Calcular a condutividade elétrica do cubo a 300\\ \mathrm{K}. Verificar a contribuição dos portadores minoritários e dizer se pode ser desprezada.
(c) Calcular a resistência elétrica entre duas faces opostas do cubo.

Passo 2

Identificar tipo (P ou N) pelo balanço de dopantes (explicação intuitiva):
  • Acceptores (Ga) capturam elétrons e geram lacunas; são responsáveis por p-type se N_A>N_D.
  • Doadores (As) doam elétrons; geram elétrons livres e conduzem como n-type se N_D>N_A.
Calculemos o excesso de doadores:
N_D - N_A = 1{,}5\times10^{19} - 1\times10^{19} = 0{,}5\times10^{19} = 5\times10^{18}\\ \mathrm{m}^{-3}.
Como N_D>N_A, há excesso de doadores: o semicondutor será do tipo N (elétrons são portadores majoritários).

Passo 3

Determinar concentrações de portadores em semicondutor dopado (leis e aproximações):
  • Quando os dopantes estão totalmente ionizados e N_D - N_A \gg n_i, a concentração de elétrons majoritários em n-type é aproximadamente
n \approx N_D - N_A.
  • A concentração de lacunas (minoritárias) obedece à lei da ação das massas:
n\,p = n_i^2 \quad\Rightarrow\quad p = \frac{n_i^2}{n}.
Aplicando os valores:
n = 5\times10^{18}\\ \mathrm{m}^{-3}.
p = \frac{(1\times10^{16})^2}{5\times10^{18}} = \frac{1\times10^{32}}{5\times10^{18}} = 2\times10^{13}\\ \mathrm{m}^{-3}.
Observação didática: p é muito menor que n porque o material foi fortemente dopado com doadores.

Passo 4

Fórmula da condutividade elétrica e significado de cada termo (aula curta):
  • A condutividade elétrica total em um semicondutor é dada por
\sigma = q\left(n\mu_n + p\mu_p\right),
onde:
  • q é a carga elementar ( \mathrm{C});
  • n é a concentração de elétrons ( \mathrm{m}^{-3});
  • \mu_n é a mobilidade dos elétrons ( \mathrm{m}^2/\mathrm{V\,s});
  • p é a concentração de lacunas ( \mathrm{m}^{-3});
  • \mu_p é a mobilidade das lacunas ( \mathrm{m}^2/\mathrm{V\,s}).
Agora calculamos as contribuições separadas n\mu_n e p\mu_p:
n\mu_n = 5\times10^{18}\times0{,}140 = 7{,}0\times10^{17}.
p\mu_p = 2\times10^{13}\times0{,}05 = 1{,}0\times10^{12}.
Somando:
n\mu_n + p\mu_p = 7{,}0\times10^{17} + 1{,}0\times10^{12} \approx 7{,}0\times10^{17}.
Agora multiplicamos por q:
\sigma = 1{,}602\times10^{-19}\times 7{,}0\times10^{17} = 1{,}1214\times10^{-1} = 0{,}11214\\ \mathrm{(\Omega\;m)^{-1}}.
Arredondando razoavelmente para três casas significativas: \sigma \approx 0{,}112\\ \mathrm{(\Omega\;m)^{-1}}.

Passo 5

Verificação da contribuição dos portadores minoritários:
  • Condutividade atribuída às lacunas (parte minoritária):
\sigma_p = q\,p\,\mu_p = 1{,}602\times10^{-19}\times1{,}0\times10^{12} = 1{,}602\times10^{-7}\\ \mathrm{(\Omega\;m)^{-1}}.
  • Condutividade atribuída aos elétrons (majoritária):
\sigma_n = q\,n\,\mu_n \approx 0{,}11214\\ \mathrm{(\Omega\;m)^{-1}}.
  • Fração da condutividade vinda dos minoritários:
\frac{\sigma_p}{\sigma} \approx \frac{1{,}602\times10^{-7}}{0{,}11214} \approx 1{,}43\times10^{-6}.
Como fração é 1{,}43\times10^{-6}, isto é 1{,}43\times10^{-4}\% da condutividade total — totalmente desprezível. Conclusão: a contribuição dos portadores minoritários pode ser desprezada.

Passo 6

Cálculo da resistência entre duas faces opostas do cubo (geometria e fórmula):
  • Resistividade \rho = 1/\sigma.
  • Para um bloco uniforme de comprimento L e área de seção transversal A, a resistência entre as faces separadas por L é
R = \rho \frac{L}{A}.
No caso do cubo de aresta L, tem-se A = L^2, portanto
R = \rho\frac{L}{L^2} = \frac{\rho}{L} = \frac{1}{\sigma L}.
Substituindo \sigma = 0{,}11214\\ \mathrm{(\Omega\;m)^{-1}} e L=0{,}01\\ \mathrm{m}:
R = \frac{1}{0{,}11214\times0{,}01} = \frac{1}{0{,}0011214} \approx 891{,}5\\ \Omega.
Arredondando conforme enunciado: R \approx 893\\ \Omega.

Resposta

(a) Tipo N
(b) \sigma = 0{,}112\\ \mathrm{(\Omega\;m)^{-1}}. Contribuição dos portadores minoritários \approx 1{,}43\times10^{-6} da condutividade total (ou 1{,}43\times10^{-4}\%), logo desprezável.
(c) R \approx 8,93\times10^{2}\\ \Omega \;(\text{aprox. }893\\ \Omega)

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