\frac{25}{2} y^{\prime}+\frac{2}{t} y=\frac{\cos (t)}{t^{2}} ; t>0 ; y(\pi)=0

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial linear de primeira ordem
\frac{25}{2}y'(t)+\frac{2}{t}y(t)=\frac{\cos(t)}{t^2},\quad t>0,
com condição inicial y(\pi)=0. Vamos escrever na forma padrão
y'+p(t)y=q(t),
encontrar o fator integrante e depois usar a condição inicial para determinar a solução particular.

Passo 2

Dividindo toda a equação por \tfrac{25}{2}, obtemos
y'(t)+\underbrace{\frac{2/t}{25/2}}_{p(t)}\,y(t) =\underbrace{\frac{\cos(t)/t^2}{25/2}}_{q(t)}.
Calculemos
p(t)=\frac{2/t}{25/2}=\frac{4}{25\,t}, \qquad q(t)=\frac{\cos(t)}{t^2}\cdot\frac{2}{25}=\frac{2}{25}\,\frac{\cos(t)}{t^2}.
Assim a forma padrão é
y'+\frac{4}{25\,t}y=\frac{2}{25}\,\frac{\cos(t)}{t^2}.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(t)=\exp\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr) =\exp\Bigl(\int\frac{4}{25\,t}dt\Bigr) =\exp\Bigl(\frac{4}{25}\ln t\Bigr) =t^{4/25}.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \mu(t) temos
\bigl(t^{4/25}y\bigr)'=t^{4/25}\,\frac{2}{25}\,\frac{\cos(t)}{t^2} =\frac{2}{25}\,t^{\,\frac{4}{25}-2}\cos(t) =\frac{2}{25}\,t^{-46/25}\cos(t).
Integramos dos limites \pi até t:
t^{4/25}y(t) =\int_{\pi}^{t}\frac{2}{25}\,s^{-46/25}\cos(s)\,ds + C.

Passo 5

Usamos a condição inicial y(\pi)=0. Substituindo t=\pi na fórmula acima dá
\pi^{4/25}\cdot 0 =\int_{\pi}^{\pi}\frac{2}{25}s^{-46/25}\cos(s)\,ds + C \quad\Longrightarrow\quad C=0.

Passo 6

Isolando y(t), obtemos a solução que satisfaz y(\pi)=0:
y(t) =t^{-4/25}\,\frac{2}{25}\int_{\pi}^{t}s^{-46/25}\cos(s)\,ds.

Resposta

y(t) =\frac{2}{25}\,t^{-4/25} \int_{\pi}^{t}s^{-46/25}\cos(s)\,ds.

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