{ }^{24} x \frac{d y}{d x}+y=y^{-2} ; x \neq 0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
24\,x\frac{dy}{dx}+y=y^{-2},\quad x\neq0
que é uma equação de Bernoulli, pois pode ser escrita na forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n}
com n=-2. Vamos usar a técnica de equação de Bernoulli para resolver.

Passo 2

Primeiro colocamos em forma padrão, dividindo por 24x:
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{24x}\,y=\frac{1}{24x}\,y^{-2}.

Passo 3

Identificamos que n=-2. Na fórmula de Bernoulli, fazemos a mudança de variável
u=y^{1-n}=y^{1-(-2)}=y^{3}.
Calculamos
\frac{du}{dx}=3\,y^{2}\frac{dy}{dx} \quad\Longrightarrow\quad y^{2}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}\frac{du}{dx}.
Agora dividimos a equação padrão por y^{2}:
y^{2}\frac{dy}{dx}+\frac{1}{24x}\,y^{3}=\frac{1}{24x},
substituímos y^{2}dy/dx e y^{3}=u, obtendo
\frac{1}{3}\frac{du}{dx}+\frac{1}{24x}\,u=\frac{1}{24x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dx}+\frac{1}{8x}\,u=\frac{1}{8x}.

Passo 4

Agora temos uma equação linear em u:
\frac{du}{dx}+\frac{1}{8x}\,u=\frac{1}{8x}.
O fator integrante é
\mu(x)=\exp\Bigl(\int\frac{1}{8x}\,dx\Bigr)=x^{1/8}.
Multiplicando tudo por \mu:
x^{1/8}\frac{du}{dx}+\frac{1}{8x}\,x^{1/8}u =\frac{1}{8x}\,x^{1/8} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(x^{1/8}u\bigr)=\frac{1}{8}x^{-7/8}.
Integramos em x:
x^{1/8}u=\int\frac{1}{8}x^{-7/8}\,dx =x^{1/8}+C,
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u=1+Cx^{-1/8}.

Passo 5

Voltando à variável original y, temos u=y^{3}. Portanto
y^{3}=1+Cx^{-1/8} \quad\Longrightarrow\quad y=\bigl(1+Cx^{-1/8}\bigr)^{1/3},
onde C é a constante de integração.

Resposta

\boxed{y(x)=\bigl(1+Cx^{-1/8}\bigr)^{1/3},\quad C\in\mathbb{R}.}

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