\frac{d}{d x} \ln |x|=\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a derivada de \ln|x| em relação a x é \tfrac{1}{x}. O conteúdo envolve diferenciação de função composta e tratamento do valor absoluto, dividindo em dois casos conforme o sinal de x.

Passo 2

Se x>0, então \ln|x|=\ln(x). Aplicando a regra básica de derivada do logaritmo natural,
\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}.

Passo 3

Se x<0, então \ln|x|=\ln(-x). Usamos a regra da cadeia: seja u(x)=-x, temos
\frac{d}{dx}\ln(-x) =\frac{1}{u(x)}\cdot u'(x) =\frac{1}{-x}\cdot(-1) =\frac{1}{x}.

Resposta

\frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x},\quad x\neq0.

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