\frac{d}{d x} b^{x}=b^{x}(\ln b)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=b^{x}
onde b>0 e b\neq1. O conteúdo aqui é derivação de funções exponenciais e vamos usar a identidade que liga a base b à base e e, em seguida, a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos b^{x} em termos da função exponencial de base e. Como \ln b é constante, vale
b^{x} = e^{x\ln b}.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia à função g(u)=e^{u} com u(x)=x\ln b. Temos
\frac{d}{dx}e^{u(x)} = e^{u(x)}\cdot u'(x).
Aqui
u'(x)=\frac{d}{dx}(x\ln b)=\ln b.
Logo,
\frac{d}{dx}e^{x\ln b} = e^{x\ln b}\,\ln b.

Passo 4

Voltando à base original, como e^{x\ln b}=b^{x}, concluímos que
\frac{d}{dx}b^{x} = b^{x}\,\ln b.

Resposta

\frac{d}{dx}b^{x}=b^{x}\ln b.

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