1. \frac{d y}{d t}=e^{t} \operatorname{sen}\left(e^{t}-2\right), \quad y(\ln 2)=0 \left(\operatorname{resp} . \quad y(t)=-\cos \left(e^{t}-2\right)+1\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial \displaystyle \frac{dy}{dt}=e^{t}\operatorname{sen}\bigl(e^{t}-2\bigr)
com condição inicial y(\ln2)=0. O conteúdo é integração de uma função composta, e vamos usar substituição para resolver.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = e^{t}-2, \quad du = e^{t}\,dt,
temos
\int e^{t}\operatorname{sen}\bigl(e^{t}-2\bigr)\,dt = \int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u)+C.
Logo, a solução geral é
y(t)=-\cos\bigl(e^{t}-2\bigr)+C.

Passo 3

Aplicando a condição y(\ln2)=0: em t=\ln2 temos e^{\ln2}=2 e, portanto, u=2-2=0. Assim,
0=y(\ln2)=-\cos(0)+C=-1+C \quad\Longrightarrow\quad C=1.

Resposta

y(t)=-\cos\bigl(e^{t}-2\bigr)+1.

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