1. \int x \arctan \left(\sqrt{x^{2}-1}\right) d x \qquad \left(\right. resp. \left.\quad \frac{1}{2}\left[x^{2} \operatorname{arctg} \sqrt{x^{2}-1}-\sqrt{x^{2}-1}\right]+C\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x \,\arctan\!\bigl(\sqrt{x^2 - 1}\bigr)\,dx
O método mais adequado é a integração por partes, pois temos um produto de x por uma função composta \arctan(\cdot). Vamos precisar definir
u = \arctan\!\bigl(\sqrt{x^2 - 1}\bigr) \quad\text{e}\quad dv = x\,dx
e então calcular du e v.

Passo 2

Calculemos v e du:
  1. De dv = x\,dx segue
v = \int x\,dx = \frac{x^2}{2}.
  1. Para u = \arctan(w) com w = \sqrt{x^2 - 1}, temos
du = \frac{1}{1 + w^2}\,dw \quad\text{e}\quad dw = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\,dx.
Como 1+w^2 = 1 + (x^2-1) = x^2, resulta
du = \frac{1}{x^2}\,\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\,dx = \frac{1}{x\,\sqrt{x^2 - 1}}\,dx.

Passo 3

Aplique a fórmula de partes
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Assim,
\int x\,\arctan\!\bigl(\sqrt{x^2 - 1}\bigr)\,dx = \frac{x^2}{2}\,\arctan\!\bigl(\sqrt{x^2 - 1}\bigr) - \int \frac{x^2}{2}\,\frac{1}{x\,\sqrt{x^2 - 1}}\,dx.

Passo 4

Simplifique o segundo integral:
\int \frac{x^2}{2}\,\frac{1}{x\,\sqrt{x^2 - 1}}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\,dx.
Para \displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\,dx, use a substituição
t = x^2 - 1,\quad dt = 2x\,dx \;\Longrightarrow\; \int \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\,dx = \int \frac{1}{2}\,t^{-\tfrac12}\,dt = t^{\tfrac12} = \sqrt{x^2 - 1}.
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\int \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\,dx = \sqrt{x^2 - 1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2}\int \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\,dx = \frac{1}{2}\,\sqrt{x^2 - 1}.

Passo 5

Reunindo tudo, obtemos
\int x\,\arctan\!\bigl(\sqrt{x^2 - 1}\bigr)\,dx = \frac{x^2}{2}\,\arctan\!\bigl(\sqrt{x^2 - 1}\bigr) - \frac{1}{2}\,\sqrt{x^2 - 1} + C,
que pode ser escrito de forma compacta como
\frac{1}{2}\Bigl[x^2\,\arctan\!\bigl(\sqrt{x^2 - 1}\bigr)\;-\;\sqrt{x^2 - 1}\Bigr] + C.

Resposta

\frac{1}{2}\Bigl[x^2\,\arctan\!\bigl(\sqrt{x^2 - 1}\bigr)\;-\;\sqrt{x^2 - 1}\Bigr] + C.

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