Qual a fração de moléculas que têm velocidades (a) maiores do que a velocidade média quadrática e (b) menores do que esta velocidade? © Quais as frações com velocidades maiores do que a média e menores do que a média?
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente achar, na distribuição de velocidades de Maxwell–Boltzmann,
a) a fração de moléculas com velocidade maior que a velocidade quadrática média (v_rms),
b) a fração com velocidade menor que v_rms,
c) as mesmas contas mas usando a velocidade média (v̄).
Para isso a gente vai usar a forma da densidade de probabilidade de velocidades
f(v)=4π (m/2πkT)^{3/2} v² exp(–mv²/2kT)
e integrar essa função nos limites certos. Vou mostrar tudo passo a passo, sem pular teoria.
a) a fração de moléculas com velocidade maior que a velocidade quadrática média (v_rms),
b) a fração com velocidade menor que v_rms,
c) as mesmas contas mas usando a velocidade média (v̄).
Para isso a gente vai usar a forma da densidade de probabilidade de velocidades
f(v)=4π (m/2πkT)^{3/2} v² exp(–mv²/2kT)
e integrar essa função nos limites certos. Vou mostrar tudo passo a passo, sem pular teoria.
Passo 2
A função de distribuição de velocidades é
Ela já vem normalizada, ou seja
Pra achar a fração de moléculas com
, basta calcular
A gente vai trocar a variável v por
e aí usar a integral padrão
$$\int_{x_0}{\infty}x2e{-x2}dx
=\frac{x_0e{-x_02}}{2}+\frac{\sqrt\pi}{4},\mathrm{erfc}(x_0).
P(v>v_0)=\frac{2}{\sqrt\pi}\int_{x_0}^\infty x2e{-x^2}dx
=\frac{x_0e{-x_02}}{\sqrt\pi}+\frac12,\mathrm{erfc}(x_0),$$
onde .
onde
Passo 3
Agora, para
, temos
Aplicando na fórmula
$$P(v>v_{\rm rms})
=\frac12,\mathrm{erfc}(\sqrt{3/2})+\frac{\sqrt{3/2},e^{-3/2}}{\sqrt\pi}
\approx0{,}20.1-0{,}20=0{,}80.$$
Passo 4
Agora a mesma ideia para
, a velocidade média
Aí
$$x_0=\frac{\bar v}{a}
=\frac{\sqrt{8kT/(\pi m)}}{\sqrt{2kT/m}}
=\frac{2}{\sqrt\pi}\approx1{,}128.
P(v>\bar v)
=\frac12,\mathrm{erfc}(2/\sqrt\pi)+\frac{(2/\sqrt\pi),e^{-4/\pi}}{\sqrt\pi}
\approx0{,}24,
P(v<\bar v)=1-0{,}24=0{,}76.$$
Resposta
(a) P(v>v_rms) ≃ 0,20
(b) P(v<v_rms) ≃ 0,80
© P(v>v̄) ≃ 0,24 e P(v<v̄) ≃ 0,76
(b) P(v<v_rms) ≃ 0,80
© P(v>v̄) ≃ 0,24 e P(v<v̄) ≃ 0,76