Calcular a razão entre a fração de moléculas de um gás que tem a velocidade no intervalo De nas vizinhanças de n c^* e a mesma fração nas vizinhanças de c^*. Este cálculo serve para se estimar a fração de moléculas muito energéticas (importante na teoria das reações químicas). Estimar o valor da razão para n=3 e n=4.

Passo 1

Então, o enunciado manda calcular a razão entre a fração de moléculas com velocidade perto de f(v),dv propto v^2,e^-,m,v^22kT,dv, e a fração perto de . Isso faz parte da distribuição de velocidades de Maxwell–Boltzmann (usada em cinética molecular) e serve pra estimar quantas moléculas têm energia muito alta.
O que a gente vai precisar:
  1. A fórmula da distribuição de velocidades de Maxwell–Boltzmann:
  2. Entender que, para um pequeno intervalo , a fração de moléculas em volta de é ,
  3. Saber que é a velocidade mais provável (ou característica) de modo que .

Passo 2

Escrevendo a fração de moléculas em torno de uma velocidade fração(v);propto;v^2;e^-m,v^22kT,De, temos
çã
A constante de proporcionalidade e vão cancelar quando fizermos uma razão.

Passo 3

A razão pedida é
R(n);=;fração em n,c^*fração em c^* ;=;(n,c^*)^2,e^-m,(n,c^*)^22kT(c^*)^2,e^-m,(c^*)^22kT çãçã
Podemos separar isso em duas partes:
  1. fator de : ,
  2. fator exponencial: .

Passo 4

Como m,(c^*)^22kT=1 é a velocidade mais provável, por definição tem
-m,(n,c^*)^22kT+m,(c^*)^22kT =-,n^2 +1 =-(n^2-1)
Logo
R(n)=n^2,e^-(n^2-1)
Portanto a razão fica

Passo 5

Basta agora pôr R(3)=3^2,e^-(9-1)=9,e^-8approx9times3,35times10^-4approx3,0times10^-3 e R(4)=4^2,e^-(16-1)=16,e^-15approx16times3,06times10^-7approx4,9times10^-6 :
  • Para :
  • Para :

Resposta

Para , a razão é aproximadamente .
Para , a razão é aproximadamente .

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