- Um frasco de alumínio com volume interno de
a
está completamente cheio de glicerina líquida até a borda. O sistema é então aquecido uniformemente até atingir a temperatura de
. Sabendo que o coeficiente de dilatação linear do alumínio é
o coeficiente de dilatação volumétrica da glicerina é
, determine o volume de glicerina que transborda (dilatação aparente) do frasco.
Passo 1
O enunciado dá um frasco de alumínio com volume interno inicial
cheio de glicerina à temperatura inicial
. O sistema é aquecido até
. Peguei estes dados do enunciado. As quantidades fornecidas são:
- coeficiente de dilatação linear do alumínio:
; - coeficiente de dilatação volumétrica da glicerina:
(valor dado no enunciado); - temperatura inicial
e temperatura final ; - volume inicial do líquido (igual ao volume interno do frasco)
.
O que o problema pede: determinar o volume de glicerina que transborda (isto é, a dilatação aparente do líquido) quando a temperatura sobe de
para
.
Passo 2
Entendendo os conceitos (aula rápida e prática):
- Coeficiente de dilatação linear
: indica quanto uma dimensão linear (por exemplo, comprimento) do sólido aumenta por grau de temperatura. Unidade: . Se um comprimento sofre aumento de temperatura , o novo comprimento aproximado é . - Coeficiente de dilatação volumétrica
(do líquido): indica a variação relativa do volume por grau de temperatura. Se um volume de líquido sofre , o novo volume é . - Para um sólido isotrópico (como o alumínio), o coeficiente volumétrico do corpo
relaciona-se aprox. com o coeficiente linear por . Aqui vou usar essa relação para obter a dilatação volumétrica do frasco de alumínio.
Passo 3
Escrevendo as fórmulas que vamos usar:
- Variação de temperatura:
- Volume final da glicerina (se o frasco fosse rígido):
- Volume interno final do frasco (devido à dilatação do alumínio):
onde
é o coeficiente volumétrico do alumínio e usaremos
.
- O volume que transborda (dilatação aparente) é a diferença:
Essa expressão é muito prática: só multiplicar
por
.
Passo 4
Calculemos
:
Passo 5
Calculemos o coeficiente volumétrico do alumínio
a partir de
(peguei
do enunciado):
Agora a conta:
Passo 6
Calculemos a diferença entre os coeficientes:
Fazendo a subtração:
Passo 7
Agora aplicamos a fórmula do transbordo:
Substituindo
,
e
:
Calcule passo a passo (sem precisar de calculadora complicada):
Então
Passo 8
Interpretação rápida (força amiga): o resultado significa que, ao aquecer 70 K, a glicerina tenta aumentar mais do que o frasco se expande; a diferença de volumes é de cerca de
, que é o que sai do frasco. Esse valor faz sentido: o coeficiente volumétrico da glicerina é bem maior que o do alumínio.