1. Um frasco de alumínio com volume interno de 500 \mathrm{~cm}^{3} a 15^{\circ} \mathrm{C} está completamente cheio de glicerina líquida até a borda. O sistema é então aquecido uniformemente até atingir a temperatura de 85^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que o coeficiente de dilatação linear do alumínio é \alpha=2,4 \times 10^{-5} \mathrm{~K}^{-1} \mathrm{e} o coeficiente de dilatação volumétrica da glicerina é \mathrm{y}=4,9 \times 10^{-4} \mathrm{~K}^{-1}, determine o volume de glicerina que transborda (dilatação aparente) do frasco.

Passo 1

O enunciado dá um frasco de alumínio com volume interno inicial V_0 = 500\\ \mathrm{cm}^3 cheio de glicerina à temperatura inicial 15^\circ\mathrm{C}. O sistema é aquecido até 85^\circ\mathrm{C}. Peguei estes dados do enunciado. As quantidades fornecidas são:
  • coeficiente de dilatação linear do alumínio: \alpha = 2,4\times10^{-5}\\ \mathrm{K}^{-1};
  • coeficiente de dilatação volumétrica da glicerina: \gamma = 4,9\times10^{-4}\\ \mathrm{K}^{-1} (valor dado no enunciado);
  • temperatura inicial T_i = 15^\circ\mathrm{C} e temperatura final T_f = 85^\circ\mathrm{C};
  • volume inicial do líquido (igual ao volume interno do frasco) V_0 = 500\\ \mathrm{cm}^3.
O que o problema pede: determinar o volume de glicerina que transborda (isto é, a dilatação aparente do líquido) quando a temperatura sobe de 15^\circ\mathrm{C} para 85^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Entendendo os conceitos (aula rápida e prática):
  • Coeficiente de dilatação linear \alpha: indica quanto uma dimensão linear (por exemplo, comprimento) do sólido aumenta por grau de temperatura. Unidade: \mathrm{K}^{-1}. Se um comprimento L_0 sofre aumento de temperatura \Delta T, o novo comprimento aproximado é L = L_0(1+\alpha\Delta T).
  • Coeficiente de dilatação volumétrica \gamma (do líquido): indica a variação relativa do volume por grau de temperatura. Se um volume V_0 de líquido sofre \Delta T, o novo volume é V_{\text{líq}} = V_0(1+\gamma\Delta T)í.
  • Para um sólido isotrópico (como o alumínio), o coeficiente volumétrico do corpo \beta relaciona-se aprox. com o coeficiente linear por \beta \approx 3\alpha. Aqui vou usar essa relação para obter a dilatação volumétrica do frasco de alumínio.

Passo 3

Escrevendo as fórmulas que vamos usar:
  • Variação de temperatura:
\Delta T = T_f - T_i = 85^\circ\mathrm{C} - 15^\circ\mathrm{C}.
  • Volume final da glicerina (se o frasco fosse rígido):
V_{\text{glicerina,final}} = V_0\bigl(1+\gamma\,\Delta T\bigr).
  • Volume interno final do frasco (devido à dilatação do alumínio):
V_{\text{frasco,final}} = V_0\bigl(1+\beta\,\Delta T\bigr),
onde \beta é o coeficiente volumétrico do alumínio e usaremos \beta = 3\alpha.
  • O volume que transborda (dilatação aparente) é a diferença:
V_{\text{transbordo}} = V_{\text{glicerina,final}} - V_{\text{frasco,final}} = V_0\bigl(\gamma - \beta\bigr)\Delta T.
Essa expressão é muito prática: só multiplicar V_0 por (\gamma-\beta)\Delta T.

Passo 4

Calculemos \Delta T:
\Delta T = 85 - 15 = 70\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calculemos o coeficiente volumétrico do alumínio \beta a partir de \alpha (peguei \alpha do enunciado):
\beta = 3\alpha = 3\cdot\bigl(2,4\times10^{-5}\bigr)\\ \mathrm{K}^{-1}.
Agora a conta:
\beta = 7,2\times10^{-5}\\ \mathrm{K}^{-1}.

Passo 6

Calculemos a diferença entre os coeficientes:
\gamma - \beta = 4,9\times10^{-4} - 7,2\times10^{-5}.
Fazendo a subtração:
\gamma - \beta = 0,00049 - 0,000072 = 0,000418 = 4,18\times10^{-4}\\ \mathrm{K}^{-1}.

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula do transbordo:
V_{\text{transbordo}} = V_0\bigl(\gamma - \beta\bigr)\Delta T.
Substituindo V_0 = 500\\ \mathrm{cm}^3, \gamma-\beta = 4,18\times10^{-4}\\ \mathrm{K}^{-1} e \Delta T = 70\\ \mathrm{K}:
V_{\text{transbordo}} = 500\cdot\bigl(4,18\times10^{-4}\bigr)\cdot70.
Calcule passo a passo (sem precisar de calculadora complicada):
\bigl(4,18\times10^{-4}\bigr)\cdot70 = 4,18\cdot70\times10^{-4} = 292,6\times10^{-4} = 0,02926.
Então
V_{\text{transbordo}} = 500\cdot0,02926 = 14,63\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 8

Interpretação rápida (força amiga): o resultado significa que, ao aquecer 70 K, a glicerina tenta aumentar mais do que o frasco se expande; a diferença de volumes é de cerca de 14,63\\ \mathrm{cm}^3, que é o que sai do frasco. Esse valor faz sentido: o coeficiente volumétrico da glicerina é bem maior que o do alumínio.

Resposta

14,63\\ \mathrm{cm}^3

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